Plizzari werd geboren in Crema en speelde in de jeugd bij AC Milan. Tijdens het seizoen 2017/18 werd hij verhuurd aan Ternana Calcio. Op 6 augustus 2017 debuteerde de doelman voor zijn nieuwe club in de Coppa Italia tegen Trapani Calcio.[3] Drie weken later maakte hij zijn opwachting in de Serie B in de thuiswedstrijd tegen Empoli.[4] In totaal speelde Plizzari twintig competitiewedstrijden voor Ternana, waarna hij terugkeerde naar AC Milan.