高度合成数
それ未満のどの自然数よりも約数のおおい自然数
番目 | 高度合成数 | 約数の個数 |
---|---|---|
1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 2 |
3 | 4 | 3 |
4 | 6 | 4 |
5 | 12 | 6 |
6 | 24 | 8 |
7 | 36 | 9 |
8 | 48 | 10 |
9 | 60 | 12 |
10 | 120 | 16 |
11 | 180 | 18 |
12 | 240 | 20 |
13 | 360 | 24 |
14 | 720 | 30 |
15 | 840 | 32 |
16 | 1260 | 36 |
17 | 1680 | 40 |
18 | 2520 | 48 |
19 | 5040 | 60 |
20 | 7560 | 64 |
21 | 10080 | 72 |
22 | 15120 | 80 |
23 | 20160 | 84 |
24 | 25200 | 90 |
25 | 27720 | 96 |
26 | 45360 | 100 |
27 | 50400 | 108 |
28 | 55440 | 120 |
29 | 83160 | 128 |
30 | 110880 | 144 |
高度合成数(こうどごうせいすう、英: highly composite number)とは、自然数で、それ未満のどの自然数よりも約数の個数が多いものをいう。
1から順に高度合成数を表すと
例えば24は約数を(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)と8個持ち、24未満で約数を8個以上持つ自然数は存在しないので、高度合成数である。なお1と2は合成数ではないが、高度合成数に含める。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Highly_composite_number_Cuisenaire_rods_6.png/75px-Highly_composite_number_Cuisenaire_rods_6.png)
素因数分解との関係
編集約数の個数は素因数分解で求まる。例えば 15120 = 24 × 33 × 5 × 7 であるから、約数の個数は (4+1) × (3+1) × (1+1) × (1+1) = 80 個である。
概要
編集高度合成数の概念は、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより考案された。
明らかに高度合成数は無限に存在する。というのも、正整数の正の約数の個数はいくらでも大きくなりうるためである。
高度合成数は
という形で素因数分解され、
を満たす数である (p(b)は 2 から数えてb番目の素数)。
また素因数には 2 から p(b) までの全ての素数を含む。
なお 4 と 36 以外の高度合成数では ap= 1 である。
したがって高度合成数のうち平方数は 4 と 36 のみであり、それ以外の累乗数は高度合成数にはなりえない。
高度合成数は、伝統的な度量衡の体系にしばしば現れ(例:時間の24や 60、角度の360、ダースの 12 など)、また工学的な設計によく使われる。
これは除算を含む計算が簡単に行える利点による。
Q(x) で x 以下の高度合成数の個数を表すと、1 より大きな定数 a, b が存在して
- (loge x)a ≤ Q(x) ≤ (loge x)b
が成り立つ。