Bilangan komposit tinggi
Bilangan komposit tinggi adalah bilangan bulat positif dengan lebih banyak pembagi daripada bilangan bulat positif yang lebih kecil. Istilah ini diciptakan oleh Ramanujan (1915). Namun, Jean-Pierre Kahane telah menyarankan bahwa konsep tersebut mungkin telah diketahui oleh Plato, yang menetapkan 5040 sebagai jumlah ideal penduduk di kota sebagai 5040 telah lebih menjadi pembagi.[1]
Konsep terkait sebagian besar bilangan komposit mengacu pada bilangan bulat positif yang memiliki setidaknya sebanyak pembagi sebagai bilangan bulat positif yang lebih kecil.
Namanya bisa agak menyesatkan, karena dua bilangan komposit tinggi (1 dan 2) sebenarnya bukan bilangan komposit.
Contoh
[sunting | sunting sumber]Artikel ini sedang dalam perbaikan. CATATAN: Mohon untuk tidak menyunting bagian ini. Untuk menghindari konflik penyuntingan, mohon jangan melakukan penyuntingan selama pesan ini ditampilkan. Halaman ini terakhir disunting oleh 115.178.228.158 (Kontrib • Log) 1233 hari 1222 menit lalu. |
38 bilangan komposit tinggi awal atau terkecil tercantum dalam tabel di bawah ini (barisan A002182 pada OEIS). Jumlah pembagi diberikan di kolom berlabel d ( n ). Tanda bintang menunjukkan bilangan komposit sangat unggul.
Order | HCN n |
Faktorisasi prima |
Eksponen prima |
Bilangan faktor prima |
d(n) | Faktorisasi primorial |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 0 | 1 | |||
2* | 2 | 1 | 1 | 2 | ||
3 | 4 | 2 | 2 | 3 | ||
4* | 6 | 1,1 | 2 | 4 | ||
5* | 12 | 2,1 | 3 | 6 | ||
6 | 24 | 3,1 | 4 | 8 | ||
7 | 36 | 2,2 | 4 | 9 | ||
8 | 48 | 4,1 | 5 | 10 | ||
9* | 60 | 2,1,1 | 4 | 12 | ||
10* | 120 | 3,1,1 | 5 | 16 | ||
11 | 180 | 2,2,1 | 5 | 18 | ||
12 | 240 | 4,1,1 | 6 | 20 | ||
13* | 360 | 3,2,1 | 6 | 24 | ||
14 | 720 | 4,2,1 | 7 | 30 | ||
15 | 840 | 3,1,1,1 | 6 | 32 | ||
16 | 1260 | 2,2,1,1 | 6 | 36 | ||
17 | 1680 | 4,1,1,1 | 7 | 40 | ||
18* | 2520 | 3,2,1,1 | 7 | 48 | ||
19* | 5040 | 4,2,1,1 | 8 | 60 | ||
20 | 7560 | 3,3,1,1 | 8 | 64 | ||
21 | 10080 | 5,2,1,1 | 9 | 72 | ||
22 | 15120 | 4,3,1,1 | 9 | 80 | ||
23 | 20160 | 6,2,1,1 | 10 | 84 | ||
24 | 25200 | 4,2,2,1 | 9 | 90 | ||
25 | 27720 | 3,2,1,1,1 | 8 | 96 | ||
26 | 45360 | 4,4,1,1 | 10 | 100 | ||
27 | 50400 | 5,2,2,1 | 10 | 108 | ||
28* | 55440 | 4,2,1,1,1 | 9 | 120 | ||
29 | 83160 | 3,3,1,1,1 | 9 | 128 | ||
30 | 110880 | 5,2,1,1,1 | 10 | 144 | ||
31 | 166320 | 4,3,1,1,1 | 10 | 160 | ||
32 | 221760 | 6,2,1,1,1 | 11 | 168 | ||
33 | 277200 | 4,2,2,1,1 | 10 | 180 | ||
34 | 332640 | 5,3,1,1,1 | 11 | 192 | ||
35 | 498960 | 4,4,1,1,1 | 11 | 200 | ||
36 | 554400 | 5,2,2,1,1 | 11 | 216 | ||
37 | 665280 | 6,3,1,1,1 | 12 | 224 | ||
38* | 720720 | 4,2,1,1,1,1 | 10 | 240 |
Pembagi dari 15 bilangan komposit tinggi pertama ditunjukkan di bawah ini.
n | d(n) | Divisors of n |
---|---|---|
1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 1, 2 |
4 | 3 | 1, 2, 4 |
6 | 4 | 1, 2, 3, 6 |
12 | 6 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 |
24 | 8 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 |
36 | 9 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 |
48 | 10 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 |
60 | 12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 |
120 | 16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 |
180 | 18 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 |
240 | 20 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240 |
360 | 24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360 |
720 | 30 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720 |
840 | 32 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840 |
Tabel di bawah ini menunjukkan 72 pembagi dari 10080 dengan menuliskannya sebagai hasil kali dari dua angka dalam 36 cara berbeda.
The highly composite number: 10080 10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 × 7 | |||||
1 × 10080 |
2 × 5040 |
3 × 3360 |
4 × 2520 |
5 × 2016 |
6 × 1680 |
7 × 1440 |
8 × 1260 |
9 × 1120 |
10 × 1008 |
12 × 840 |
14 × 720 |
15 × 672 |
16 × 630 |
18 × 560 |
20 × 504 |
21 × 480 |
24 × 420 |
28 × 360 |
30 × 336 |
32 × 315 |
35 × 288 |
36 × 280 |
40 × 252 |
42 × 240 |
45 × 224 |
48 × 210 |
56 × 180 |
60 × 168 |
63 × 160 |
70 × 144 |
72 × 140 |
80 × 126 |
84 × 120 |
90 × 112 |
96 × 105 |
Catatan: Bilangan dalam bold adalah bilangan komposit tinggi . Hanya nomor dua puluh yang sangat komposit 7560 (= 3 × 2520) is absent. 10080 is a so-called 7-smooth number (barisan A002473 pada OEIS). |
Bilangan komposit ke-15.000 dapat ditemukan di situs web Achim Flammenkamp. Ini adalah produk dari 230 bilangan prima:
dimana adalah deretan bilangan prima yang berurutan, dan semua suku yang dihilangkan (a22 to a228) adalah faktor dengan eksponen sama dengan satu (yaitu bilangan ). Lebih tepatnya, ini adalah produk dari tujuh primorial yang berbeda:
Faktorisasi prima
[sunting | sunting sumber]Secara kasar, agar sebuah bilangan menjadi sangat komposit, ialah anda harus memiliki faktorisasi prima sekecil mungkin, tetapi tidak terlalu banyak yang sama. Dengan teorema dasar aritmetika, setiap bilangan bulat positif n memiliki faktorisasi prima yang unik:
dimana adalah bilangan prima dan eksponen, sedangkan adalah bilangan bulat positif.
Faktor apa pun dari n harus memiliki kelipatan yang sama atau lebih kecil di setiap bilangan prima:
Jadi jumlah pembagi n adalah:
Oleh karena itu, untuk bilangan komposit tinggi n ,
- k yang diberi bilangan prima p i harus persis bilangan prima k pertama (2, 3, 5, ...); jika tidak, kita bisa mengganti salah satu bilangan prima yang diberikan dengan bilangan prima yang lebih kecil, dan dengan demikian mendapatkan bilangan yang lebih kecil dari n dengan jumlah pembagi yang sama (misalnya 10 = 2 × 5 dapat diganti dengan 6 = 2 × 3; keduanya memiliki empat pembagi);
- urutan eksponen harus tidak meningkat, yaitu ; jika tidak, dengan menukar dua eksponen kita akan mendapatkan angka yang lebih kecil dari n dengan jumlah pembagi yang sama (misalnya 18 = 21 × 32 boleh diganti dengan 12 = 22 × 31; keduanya memiliki enam pembagi).
Perhatikan, bahwa meskipun kondisi yang dijelaskan di atas diperlukan, kondisi tersebut tidak cukup untuk sebuah bilangan menjadi sangat komposit. Sebagai contoh, 96 = 25 × 3 memenuhi kondisi di atas dan memiliki 12 pembagi tetapi tidak terlalu komposit karena ada bilangan yang lebih kecil 60 yang memiliki jumlah pembagi yang sama.
Pertumbuhan dan kepadatan asimtotik
[sunting | sunting sumber]Bila Q(x) menunjukkan jumlah bilangan komposit yang kurang dari atau sama dengan x , maka ada dua konstanta a dan b , keduanya lebih besar dari 1, sehingga
Bagian pertama dari ketidaksetaraan dibuktikan oleh Paul Erdős pada tahun 1944 dan bagian kedua oleh Jean-Louis Nicolas pada tahun 1988. Kami memiliki[3]
dan
Urutan terkait
[sunting | sunting sumber]Bilangan komposit yang lebih tinggi dari 6 juga merupakan jumlah berlimpah. Kita hanya perlu melihat tiga pembagi terbesar dari bilangan komposit tinggi tertentu untuk memastikan fakta ini. Tidak benar bahwa semua bilangan komposit tinggi juga Bilangan Harshad dalam basis 10. HCN pertama yang bukan bilangan Harshad adalah 245.044.800, yang memiliki jumlah digit 27, tetapi 27 tidak membagi.
10 dari 38 bilangan komposit tinggi pertama adalah bilangan komposit sangat unggul. Urutan bilangan komposit tinggi (barisan A002182 pada OEIS) adalah himpunan bagian dari urutan bilangan terkecil k dengan pembagi n persis (barisan A005179 pada OEIS).
Bilangan komposit tinggi yang jumlah pembaginya juga merupakan bilangan komposit tinggi adalah untuk n = 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 (barisan A189394 pada OEIS). Sangat mungkin urutan ini selesai.
Bilangan bulat positif n adalah sebagian besar bilangan komposit jika d(n) ≥ d(m) untuk semua m ≤ n. Fungsi penghitungan QL(x) dari sebagian besar bilangan komposit memuaskan
untuk nilai positif c,d dengan .[4][5]
Karena faktorisasi prima dari bilangan komposit tinggi menggunakan semua bilangan prima 'k' 'pertama, setiap bilangan komposit tinggi harus berupa bilangan praktis.[6] Banyak dari angka-angka ini digunakan dalam sistem pengukuran tradisional, dan cenderung digunakan dalam desain teknik, karena kemudahan penggunaannya dalam perhitungan yang melibatkan pecahan.
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]- Bilangan komposit sangat unggul
- Bilangan total
- Tabel pembagi
- Fungsi total Euler
- Bilangan bulat
- Bilangan halus
Catatan
[sunting | sunting sumber]- ^ Kahane, Jean-Pierre (February 2015), "Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre", Notices of the American Mathematical Society, 62 (2): 136–140. Kahane mengutip Plato Laws, 771c.
- ^ Flammenkamp, Achim, Highly Composite Numbers.
- ^ Sándor et al. (2006) p.45
- ^ Sándor et al. (2006) p.46
- ^ Nicolas, Jean-Louis (1979). "Répartition des nombres largement composés". Acta Arith. (dalam bahasa French). 34 (4): 379–390. doi:10.4064/aa-34-4-379-390 . Zbl 0368.10032.
- ^ Srinivasan, A. K. (1948), "Practical numbers" (PDF), Current Science, 17: 179–180, MR 0027799.
Referensi
[sunting | sunting sumber]- Ramanujan, S. (1915). "Highly composite numbers" (PDF). Proc. London Math. Soc. Series 2. 14: 347–409. doi:10.1112/plms/s2_14.1.347. JFM 45.1248.01. (online Diarsipkan 2014-09-03 di Wayback Machine.)
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, ed. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. hlm. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
- Erdös, P. (1944). "On highly composite numbers" (PDF). Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 19 (75_Part_3): 130–133. doi:10.1112/jlms/19.75_part_3.130. MR 0013381.
- Alaoglu, L.; Erdös, P. (1944). "On highly composite and similar numbers" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 56 (3): 448–469. doi:10.2307/1990319. JSTOR 1990319. MR 0011087.
- Ramanujan, Srinivasa (1997). "Highly composite numbers" (PDF). Ramanujan Journal. 1 (2): 119–153. doi:10.1023/A:1009764017495. MR 1606180. Beranotasi dan dengan kata pengantar oleh Jean-Louis Nicolas dan Guy Robin.