Polynomi

Kolmannen asteen polynomin $f(x)={\frac {1}{4}}(x^{3}+3x^{2}-6x-8)$ kuvaaja.

Matematiikassa polynomi on lauseke, joka saadaan yhdestä tai useammasta muuttujasta ja vakioista yhteen-, vähennys- ja kertolaskulla, sekä positiiviseen kokonaislukueksponentin osoittamaan potenssiin korottamisella. Esimerkiksi lauseke $x^{2}-4x+7\,$ on polynomi. Lausekkeet, joissa on muuttujia myös jakajassa, eivät ole polynomeja. Polynomit ovat samalla yksi laji matemaattisia funktioita.

Polynomi koostuu yhdestä tai useammasta termistä, joiden sisällä ei esiinny muita laskutoimituksia kuin kertolaskua sekä potenssiin korotusta. Jos termejä on vain yksi, on kyseessä monomi. Jos niitä on kaksi, sanotaan polynomia binomiksi ja jos niitä on kolme, trinomiksi. Edellä esitetty polynomi on siis trinomi, jonka termit ovat x², -4x ja 7.

Koulumatematiikassa polynomeja käytetään etenkin seuraavankaltaisissa tehtävissä: Ratkaise x yhtälöstä x² + 2x = 4. Tällöin on kyse analyysissä käsitellyistä polynomifunktioista. Polynomeja esiintyy kuitenkin matematiikassa hyvin laajalti, eikä niiden funktiotulkinta suinkaan ole aina oleellinen. Esimerkiksi generoivia funktioita esitetään polynomeilla, mutta ne eivät nimestään huolimatta ole funktioita lainkaan.

Polynomin p(x) nollakohdat saadaan selville ratkaisemalla yhtälö p(x) = 0. Yllä esitetyssä kuvassa polynomilla on kolme nollakohtaa. Algebran peruslauseen mukaan kompleksilukujen kunnassa jokaisella polynomilla, jonka aste on suurempi kuin nolla, on nollakohta.

Polynomi renkaassa

Renkaassa R voidaan määritellä polynomi p(x), $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$, missä $n\geq 0,a_{i}\in R\forall i$. Selvästi tällainen polynomi vastaa ääretöntä jonoa $(a_{1},a_{2},...,a_{n},0,0,0,...)$, jossa taas kaikki a_i ovat renkaan R alkioita. Polynomien voidaan siis ajatella olevan vain muodollisia kirjoitelmia, joissa x on pelkkä symboli, määräämätön. Muodollisille kirjoitelmille voidaan määritellä polynomien yhteen- ja kertolaskua vastaavat laskutoimitukset, jolloin muodostuu polynomirengas $R[x]$. Polynomirenkaita käsiteltäessä polynomeja ajatellaan joko muodollisina kirjoitelmina tai funktioina riippuen siitä, kumpi on tarkoituksellisempaa. Valitsemalla p(x):n määritelmässä, että rengas R on reaalilukurengas, saadaan peruskoulusta tutut polynomit.

Suurinta lukua n, jolla a_n ≠ 0 kutsutaan polynomin asteeksi. Alla esiintyvien laskulakien säilyttämiseksi myös nollapolynomin tapauksessa määritellään sille erikseen, että aste = -∞. Polynomin f(x) astetta merkitään deg(f(x)), joka selkeyden vuoksi usein lyhennetään muotoon deg f(x). Asteet toteuttavat muun muassa seuraavat laskulait:

1. $\deg f(x)g(x)\leq \deg {f(x)}+\deg {g(x)}$
2. $\deg(f(x)+g(x))\leq \max\{\deg {f(x)},\deg {g(x)}\}$

Mikäli kyseessä oleva rengas on lisäksi kokonaisalue, on säännössä 1 voimassa tiukka yhtäsuuruus.

Reaali- ja kompleksipolynomit

Analyysissä käsitellyt polynomifunktiot yli $\mathbb {C}$:n ja $\mathbb {R}$:n ovat tärkeä sileiden funktioiden aliluokka. Sileät funktiot ovat funktioita, joilla on kaikkien kertalukujen derivaatat.

Polynomien arvoja on helppo määrittää johtuen polynomien yksinkertaisesta rakenteesta. Polynomeja käytetäänkin paljon numeerisessa analyysissä, jossa polynomeilla voidaan approksimoida funktioita ja siten funktioille voidaan määrittää vaikkapa numeerisia integraaleja.

Tietokoneiden numeerisessa laskennassa polynomifunktiot on usein korvattu splineillä. Splinit ovat paloittain määriteltyjä polynomeja ja ne tarjoavat joustavamman tavan approksimoida sileitä funktioita kuin polynomit. Splinejä käytetään splini-interpoloinnissa ja tietokonegrafiikassa.

Tekijöihin jako

Algebran peruslauseesta seuraa, että reaalikertoiminen polynomi voidaan lausua sellaisten reaalikertoimisten polynomien tulona, jotka ovat ensimmäistä tai toista astetta. Toisen asteen polynomi tulee kyseeseen silloin, kun polynomin nollakohdat ovat kompleksilukuja. Ne ovat tällöin parittain toistensa kompleksikonjugaatteja.

Esimerkiksi reaalikertoiminen polynomi $x^{4}+a^{4}$ jakautuu tekijöihin seuraavasti:

$x^{4}+a^{4}=(x^{2}+{\sqrt {2}}ax+a^{2})(x^{2}-{\sqrt {2}}ax+a^{2})$

Koska tässä kumpaakin tekijäpolynomia vastaava diskriminantti on $D=-2a^{2}$ ja siis negatiivinen, ei tekijäpolynomeja voida enää jakaa reaalikertoimisiksi ensimmäisen asteen polynomeiksi.

Polynomeja matematiikan eri aloilta

Lineaarialgebrassa neliömatriisin karakteristinen polynomi sisältää useita tärkeitä matriisin ominaisuuksia.

Verkkoteoriassa verkon muuttujan x kromaattiset polynomit kertovat kuinka monella tavalla verkko voidaan värittää x värillä.

Kombinatoriikassa käytetään generoivia funktioita, joita käyttäen monet kombinatoriset tarkastelut voidaan palauttaa polynomien käsittelyksi. Tarkastellaan esimerkin vuoksi vaaleja, jossa erässä vaalipiirissä on ehdolla kaksi vasemmiston ehdokasta. Tällöin vaaleja edustaa generoiva funktio f(x) = 1 + 2x + x², jossa siis x^k:n kerroin kertoo, kuinka monella tavalla k vasemmistolaista voidaan valita. Jos jossain toisessa vaalipiirissä on myös ehdolla kaksi ehdokasta, tässä vaalipiirissä vaaleja edustaa myös f(x). Vastaus kysymykseen, kuinka monella tavalla näissä kahdessa vaalipiirissä yhdessä voidaan valita s vasemmistolaista saadaan tulopolynomin astetta s olevan termin kertoimesta.

Polynomien yleistyksiä

Yllä polynomi määriteltiin siten, että alin esiintyvä x:n eksponentti on 0. Joissain tilanteissa on kätevää ottaa mukaan myös negatiiviset eksponentit, jolloin saadaan muotoa $a_{-m}x^{-m}\cdots +a_{-1}x^{-1}+a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ olevia lausekkeita. Tällaisia yleistettyjä polynomeja kutsutaan Laurentin polynomeiksi.

Toinen mahdollinen yleistys ovat usean muuttujan polynomit, joiden yleinen muoto on $\sum _{j_{1}+\cdots +j_{k}=0}^{n}a_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{k}}x_{1}^{j_{1}}\cdots x_{k}^{j_{k}}$. Hyväksymällä summauksen aloittaminen negatiivisesta luvusta saadaan usean muuttujan Laurentin polynomit.

Jos hyväksytään myös äärettömän monitermiset polynomit, johdutaan analyysissä keskeisiin potenssisarjoihin.

Polynomit koulumatematiikassa

Polynomi koostuu yhdestä tai useammasta monomista. Monomia sanotaan myös termiksi.

Esim. 1. $x^{3}+6x^{2}-7x\,$ on polynomi, joka koostuu kolmesta monomista.

Merkitään $f(x)=x^{3}+6x^{2}-7x\,$ ja $g(x)=2x^{4}+3x^{2}-5x+2\,$.

Polynomeja voidaan laskea yhteen ja vähentää. Ne monomit, joissa on sama muuttujaosa, voidaan yhdistää.

Esim. 2. Lasketaan yhteen polynomit $f(x)\,$ ja $g(x)\,$,

$f(x)+g(x)=x^{3}+6x^{2}-7x+(2x^{4}+3x^{2}-5x+2)\,$. Sulkeet voidaan poistaa, koska niiden edessä on plus-merkki. Lasketaan yhteen monomit, joissa on sama muuttujaosa.

Saadaan $x^{3}+6x^{2}-7x+2x^{4}+3x^{2}-5x=2x^{4}+x^{3}+9x^{2}-12x+2\,$.

Polynomin kertominen vakiolla tapahtuu siten, että jokainen termi kerrotaan vakiolla erikseen.

Esim. 3.

${\begin{aligned}&{\color {green}{5}}\cdot (x+3)={\color {green}{5}}\cdot x+{\color {green}{5}}\cdot 3=5x+15\\&{\color {green}{3}}\cdot (2x^{3}-3x)={\color {green}{3}}\cdot 2x^{3}+{\color {green}{3}}\cdot (-3x)=6x^{3}-9x\end{aligned}}$

Jos vakio, jolla kerrotaan on $-1\,$ riittää, kun polynomista vaihdetaan kaikki etumerkit.

Esim. 4. $-1\cdot (x^{3}+6x^{2}-7x)=-x^{3}-6x^{2}+7x\,$. Huom. Tätä merkitään myös $-(x^{3}+6x^{2}-7x)\,$.

Esim. 5. Lasketaan polynomien erotus $f(x)-g(x)\,$.

$f(x)-g(x)=x^{3}+6x^{2}-7x-(2x^{4}+3x^{2}-5x+2)\,$

$=x^{3}+6x^{2}-7x-2x^{4}-3x^{2}+5x-2=-2x^{4}+x^{3}+3x^{2}-2x-2\,$

Polynomin kertominen monomilla tapahtuu samoin kuin polynomin kertominen vakiolla.

Esim. 6.

${\begin{aligned}&{\color {purple}{3x}}(x^{2}+4)={\color {purple}{3x}}\cdot x^{2}+{\color {purple}{3x}}\cdot 4=3x^{3}+12x\\&{\color {purple}{x^{2}}}(2x^{2}-3x+1)={\color {purple}{x^{2}}}\cdot 2x^{2}+{\color {purple}{x^{2}}}\cdot (-3x)+{\color {purple}{x^{2}}}\cdot 1=2x^{4}-3x^{3}+x^{2}\\&{\color {purple}{-2x}}(x^{2}-x+3)={\color {purple}{-2x}}\cdot x^{2}+({\color {purple}{-2x}})\cdot (-x)+({\color {purple}{-2x}})\cdot 3-2x^{3}+2x^{2}-6x\end{aligned}}$

Polynomien kertolasku keskenään on monimutkaisempi:

(1) Kerrotaan ensin termillä 2x. Seuraavaksi kerrotaan termillä 3.

(2) Lopuksi lasketaan kertolaskut.

(3) Saadaan sievennetty muoto.

${\begin{array}{lc}({\color {blue}{2x}}+{\color {purple}{3}})({\color {green}{x^{2}}}+{\color {red}{1}})&\qquad (1)\\{\begin{array}{c}&=&\underbrace {{\color {blue}{2x}}\cdot {\color {green}{x^{2}}}} &+&\underbrace {{\color {blue}{2x}}\cdot {\color {red}{1}}} &+&\underbrace {{\color {purple}{3}}\cdot {\color {green}{x^{2}}}} &+&\underbrace {{\color {purple}{3}}\cdot {\color {red}{1}}} \\&=&2x^{3}&+&2x&+&3x^{2}&+&3\end{array}}&{\begin{aligned}\qquad {\underset {}{(2)}}\\(3)\end{aligned}}\end{array}}$

Lähteet

• Polynomiyhtaloidenratkeavuus

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).