Polinom

Polinom je matematički izraz koje možemo obilježavati sa P(x), oblika:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ (sačuvanje funkcije daje uvjet da je barem jedan $a_{i}\neq 0$ za neki $i=\{1,2,...,n\}).$

u nekom definiranom području ili skupu D.

gdje su $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ elementi iz skupa D, te ih zovemo polinom nad D.

Ako je

a_n <> 0

tada polinom definišemo kao polinom n-tog stepena

Polinom oblika

f(x) = 0 + 0x +...+ 0xⁿ čiji su koeficijenti jednaki 0 zove se nulti polinom.

Pregled

Polinomi su sačinjeni od monoma, a oni se sastoje od konstante (koeficijenta), pomnožene jednom ili više promjenljivih. Promjenljive se predstavljanu slovima. Svaka promjenljiva može imati konstantan pozitivan cio broj kao eksponent. Eksponent nad promenljivom u monomu je jednak stepenu te promenljive u monomu. Kako je $x=x^{1}$ , stepen promjenljive bez zapisanog eksponenta je jedan. Monom bez promenljivih se naziva konstantnim monomom, ili prosto konstantom. Stepen konstante je 0. Koeficijent monoma može biti bilo koji broj, uključujući razlomke, iracionalne i negativne brojeve.

Primjer

$\displaystyle -5x^{2}y$ je monom.

Koeficijent je -5, a promenljive su x i y.

Stepen promenljive x je dva, a stepen promenljive y je jedan. Stepen cijelog monoma je zbir stepena svake promenljive u njemu. U našem primjeru je stepen jednak 2 + 1 = 3.

Polinom predstavlja zbir jednog ili više monoma.

Primjer

$3x^{2}-5x+4$

Sastoji se od tri monoma: prvi je stepena dva, drugi stepena jedan, a treći nula.

Polinom se običano zapisuje tako da monomi višeg stepena dolaze ispred monoma nižeg stepena.

U prvom monomu, koeficijent je 3, promenljiva je x, a eksponent je dva. U drugom monomu, koeficijent je -5. Treći je konstanta. Stepen polinoma je najveći stepen nekog njegovog monoma.

Navedeni polinom ima stepen dva.

Polinom stepena jedan se naziva linearni, polinom stepena dva kvadratni, a stepena tri kubni.

Polinom sačinjen od jednog monoma se i sam naziva monom. Polinom sačinjen od dva monoma je binom, dok je onaj sačinjen od tri monoma naziva trinom.

Izraz koji se može transformisati u polinom kroz niz primjena komutativnih, asocijativnih, i distributivnih zakona obično se i sam smatra polinomom.

Primjer

${\frac {x^{3}}{12}}$ smatra se polinomom, jer je ekvivalentno sa ${\frac {1}{12}}x^{3}$ . Koeficijent je ${\tfrac {1}{12}}$

${\frac {1}{x^{2}+1}}$

nije polinom, jer uključuje deljenje promjenljivom, kao što nije ni $(5+y)^{x}$ jer ima promjenljivu za eksponent.

Kako se oduzimanje može posmatrati kao sabiranje sabiraka suprotnog znaka, a stepenovanje konstantnim pozitivnim brojem se može posmatrati kao ponovljeno množenje, polinomi se mogu konstruisati od konstanti i promjenljivih primjenom samo operacija sabiranja i množenja.

Polinomijalna funkcija je funkcija definisana vrijednošću polinoma.

Primjer

Funkcija f definisana kao

$f(x)=x^{3}-x$

je polinomijalna funkcija. Polinomijalne funkcije su važna klasa glatkih funkcija. Izraz glatko dolazi iz matematičke analize. Znači da je uvijek moguće naći izvod polinomijalne funkcije, koliko god puta, i koliko god često. Glatka funkcija opisuje izgled grafika polinomijalne funkcije.

Osobine polinoma

Zbir dva polinoma je polinom
Proizvod dva polinoma je polinom
Izvod polinoma je polinom
Primitivna funkcija polinoma je polinom

Polinomi se koriste da aproksimiraju druge funkcije, kao što su sinus, kosinus, i eksponencijalna funkcija.

Svi polinomi imaju prošireni oblik, u kome se koristi distributivni zakon da se uklone sve zagrade. Neki polinomi imaju rastavljen oblik u kome je polinom zapisan kao proizvod polinoma sa realnim koeficijentima.

Polinom $x^{2}-2x-3$ je jednak, i predstavlja prošireni oblik polinoma $(x-3)(x+1)$ koji je zapisan u rastavljenom obliku.

Svaki polinom jedne promenljive je ekvivalentan polinomu oblika

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

Ovo se nekad uzima za definiciju polinoma jedne promjenljive.

Računanje vrijednosti polinoma se sastoji od dodjeljivanja neke brojne vrijednosti svakoj promjenljivoj, i izvršavanja odgovarajućih množenja i sabiranja. Ovo računanje se ponekad efikasnije sprovodi korištenjem Hornerove šeme

$((\ldots (a_{n}x+a_{n-1})x+...+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}$

U elementarnoj algebri, se izučavaju metodi za rješavanje svih polinomijalnih jednačina jedne promjenljive prvog i drugog stepena. Kada su u pitanju polinomijalne jednačine, promenljiva se često naziva nepoznatom. Broj rješenja polinomijalne jednačine ne može da premaši stepen polinoma, i tačno je jednak ovom stepenu ako se ubroji multiplicitet rješenja, kao i kompleksna rješenja. Ova činjenica je osnovna teorema algebre.

Jednakost polinoma

Za polinome

f(x) = a₀+ a₁x+........+ a_m x^m

g(x) = b₀+ b₁x+........+ b_n xⁿ

kažemo da su jednaki ako i samo ako su im jednaki koeficijenti a i b te jednake potencije m i n.

Ako je

m < n

mora biti

b_(m+1) = ..... b_n = 0

Sabiranje polinoma

Pod sumom dva polinoma f(x) i g(x) podrazumjevamo polinom oblika:

f(x) + g(x) = (a₀ + b₀ ) + (a₁ + b₁ ) x + ...+ (a_n + b_n ) xⁿ

Primjer

f(x) = 3 + 5x - 8x²

g(x) = x - 2x² + 5x³

f(x) + g(x) = 3 + 5x - 10x² + 5x³

Primjer

$P=3x^{2}-2x+5xy-2$

$Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8$

$P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8$

$P+Q=x+5xy+4y^{2}+6$

Oduzimanje polinoma

Pod razlikom dva polinoma f(x) i g(x) podrazumjevamo polinom oblika:

f(x) - g(x) = (a₀ - b₀ ) + (a₁ - b₁ )x + ...+ (a_n - b_n )xⁿ

Primjer

f(x) = 3 + 5x - 8x²

g(x) = x - 2x² + 5x³

f(x) - g(x) = 3 + 4x - 6x² - 5x³

Množenje polinoma

${\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}$

${\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}$