非对称关系

在數學中，非對稱關係（英語：Asymmetric relation）是二元關係的一種。若集合 $X$ 上的二元關係 $R$ 為非對稱關係，則對於所有 $a,b\in X$ ， $(a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R$ 。換句話說，如果 $a$ 至 $b$ 存在關係，則 $b$ 至 $a$ 不存在關係^[1]。

正式定義

一個定義於 $X$ 上的二元關係 $R$ 是 $X\times X$ 的任何子集。給定 $a,b\in X$ ，我們將 $(a,b)\in R$ 簡寫為 $aRb$ ，讀作「 $a$ 至 $b$ 存在關係 $R$ （ $a$ is related to $b$ by $R$ ）」。

如果對於所有 $a,b\in X$ ，若 $aRb$ ，則 $b\not Ra$ （也就是 $(a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R$ ），則我們稱 $R$ 是非對稱的。以一階邏輯的形式可以寫成：

$\forall a,b\in X:aRb\implies \lnot (bRa)$

一個邏輯等價的定義如下：對於所有 $a,b\in X$ ， $aRb$ 與 $bRa$ 中至少有一為假。以一階邏輯的形式可以寫成：

$\forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa)$

非對稱關係的一個例子是定義於實數上的「小於關係」，亦即 $R=\{(a,b)\ |\ a<b\}$ 。由於當 $a$ 小於 $b$ 時， $b$ 一定不小於 $a$ ，因此 $R$ 是非對稱的。另一方面，「小於等於關係」則不是非對稱的，因為當 $a=b$ 時， $a\leq b$ 和 $b\leq a$ 會同時成立，不符合非對稱關係的定義。

非對稱關係不代表對稱關係的相反，上述的「小於等於關係」既不是非對稱關係，也不是對稱關係；而「空關係（ $R=\emptyset$ ）」是唯一同時是非對稱關係，也是對稱關係的關係。

非對稱關係（Asymmetric）與反對稱關係（Antisymmetric）的差異在於：反對稱關係容許自反性， $(a,a)$ 可以屬於 $R$ ，而非對稱關係不允許。如上述的「小於等於關係」即是反對稱關係的一例。

特性

一個關係為非對稱的，若且唯若該關係為反對稱且非自反的^[2]。
對於一個非對稱關係 $R$ ，對其施加限制或求其逆關係後，該關係同樣是非對稱的。例如，由「 $<$ 」定義的關係是非對稱關係（若 $a<b$ 則 $b\not <a$ ），若將集合從實數限縮至整數，該關係同樣是非對稱的；求該關係的逆關係「 $>$ 」，該逆關係同樣是非對稱的。
一個遞移關係為非對稱的，若且唯若該關係為非自反的^[3]：若存在 $aRb$ 且 $bRa$ 使得該關係不是非對稱，則由遞移性可得到 $aRa$ ，使得該關係同樣不是非自反關係。
一個關係為遞移性的且非對稱的，若且唯若該關係為嚴格偏序的。
一個非對稱關係不一定是全關係。例如，由「嚴格子集」定義的關係是非對稱關係（若 $A\subset B$ 則 $B\not \subset A$ ），但不是全關係（ $\{1,2\}\not \subset \{3,4\}$ 又 $\{3,4\}\not \subset \{1,2\}$ ）。

参见

參考資料

^ Gries, David; Schneider, Fred B., A Logical Approach to Discrete Math, Springer-Verlag: 273, 1993 .
^ Nievergelt, Yves, Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag: 158, 2002 .
^ Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. Transitive Closures of Binary Relations I (PDF). Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. 2007: 1 [2013-08-20]. （原始内容 (PDF)存档于2013-11-02）. Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".

[1] Gries, David; Schneider, Fred B., A Logical Approach to Discrete Math, Springer-Verlag: 273, 1993 .

[2] Nievergelt, Yves, Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag: 158, 2002 .

[3] Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. Transitive Closures of Binary Relations I (PDF). Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. 2007: 1 [2013-08-20]. （原始内容 (PDF)存档于2013-11-02）. Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".

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