此條目介紹的是多元微分算子。关于圖論中,該算子離散化的結果,请见「
拉普拉斯矩陣」。
在數學以及物理中,拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符(英語:Laplace operator, Laplacian)是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子,通常寫成
、
或
。
這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯(1749–1827)而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子,当它被施加到一个给定的重力位(Gravitational potential)的时候,其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零
的函數稱為调和函数,现在称为拉普拉斯方程,和代表了在自由空间中的可能的重力场。
拉普拉斯算子有許多用途,此外也是椭圆算子中的一個重要例子。
拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程裡。例如,常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流体力学以及亥姆霍茲方程。在靜電學中,拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中,其代表薛丁格方程中的動能項。
拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子,并且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心,並且是德拉姆上同調的結果。在图像处理和计算机视觉中,拉普拉斯算子已经被用于诸如斑点检测和边缘检测等的各种任务。
拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子,其定义为對函數
先作梯度運算(
)後,再作散度運算(
)的結果。因此如果
是二阶可微的实函数,则
的拉普拉斯算子定义为:
── (1)
的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系
中的所有非混合二阶偏导数:
── (2)
作为一个二阶微分算子,对于k ≥ 2,拉普拉斯算子把Ck函数映射到Ck-2函数。表达式((1)或(2))定义了一个算子Δ:Ck(Rn)→ Ck-2(Rn),或更一般地,定义了一个算子Δ:Ck(Ω)→ Ck-2(Ω),对于任何开集Ω。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹:
![{\displaystyle \Delta f=\mathrm {tr} (H(f)).\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d11ae721213756d8af110f0a5b7a4b6b296268)
![{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df74581e8c913a775fb8b89a1811d5d66a90a12)
- 其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標
- 另外極坐標的表示法為:
![{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95dc03f534e27464861beee0bbf39f6b5f76a57b)
- 笛卡兒坐標系下的表示法
![{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33587fedbb79ea8527c34eca0f99b261dd1e4c17)
- 圓柱坐標系下的表示法
![{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60ecf7aa645ce00320f4334ca96e8603aa2aaa4)
- 球坐標系下的表示法
![{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2300f274451fc5307b89b02f673ac3692abccef)
在参数方程为
(其中
以及
)的
维球坐标系中,拉普拉斯算子为:
![{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77be9ec57ab430bc4f3de62b6edc6d624544cfcf)
其中
是
维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把
的项写成
。
- 如果f和g是两个函数,则它们的乘积的拉普拉斯算子为:
。
f是径向函数
且g是球谐函数
,是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。
的梯度是一个径向向量,而角函数的梯度与径向向量相切,因此:
。
球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数:
。
因此:
。
拉普拉斯算子的谱由特征值
和对应的特征函数
组成,满足:
这就是所谓的亥姆霍兹方程。
如果
在
中有界,拉普拉斯算子的特征函数时希尔伯特空间
下的一组标准正交基。这主要是因为紧自伴随算子的谱定理,适用于拉普拉斯的逆算子(根据庞加莱不等式和Rellich-Kondrachov定理,它是紧算子)。这也可以表明特征函数是无穷阶可微的函数。更一般地说,这些结果对任何有界紧黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子都是成立的,或者说对任何有边界上具有光滑系数的椭圆算子的Dirichlet特征值问题也成立。当Ω为N维球面时,拉普拉斯的特征函数是球谐函数。
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间,这时它就有可能是椭圆算子、双曲算子、或超双曲算子。
在闵可夫斯基空间中,拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子(英語:d'Alembertian):
![{\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9bfee6afa2dae94848816eff810bcc1b5c65a6)
达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号,而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的,这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量;如果x方向用寸来衡量,y方向用厘米来衡量,也需要一个类似的因子。
拉普拉斯算子作用在向量值函數上,其結果被定義爲一個向量,這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯,卽
.
更一般地,對沒有坐標的向量,我們用下面的方式定義(受向量恒等式的啓發):
,也可用類似于拉普拉斯-德拉姆算子的方式定義,然後證明“旋度的旋度”向量恒等式.
拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子,称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子(也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子)。
另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法,是通过拉普拉斯–德拉姆算子,它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。
- Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970.
- Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604.
- Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979.