在概率论与统计学中,任意随机变量的对数服从正态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果
是正态分布的随机变量,则
(指数函数)为对数正态分布;同样,如果
是对数正态分布,则
为正态分布。
如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积,则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率,它可以看作是每天收益率的乘积。
对于
,对数正态分布的概率密度函数为
![{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501733994dff4d4b43f288f14834ded3b13e6a86)
其中
与
分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是
![{\displaystyle \mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f846988b0bacae97fd6c0729c2548f648a54cf0)
方差为
![{\displaystyle \mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da2aa8675e623d90732515fec21be6305a06270)
给定期望值与方差,也可以用这个关系求
与
![{\displaystyle \mu =\ln(\mathrm {E} (X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee547dbe25c3ea8fee82c90eaf9a421f360c3212)
![{\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e85fe43b5a86dc1c3018d3d9f364f4fc53f138)
与几何平均值和几何标准差的关系[编辑]
对数正态分布、几何平均数与几何標準差是相互关联的。在这种情况下,几何平均值等于
,几何標準差等于
。
如果采样数据来自于对数正态分布,则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间,就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。
置信区间界
|
对数空间
|
几何
|
3σ 下界
|
|
|
2σ 下界
|
|
|
1σ 下界
|
|
|
1σ 上界
|
|
|
2σ 上界
|
|
|
3σ 上界
|
|
|
其中几何平均数
,几何標準差
原始矩为:
![{\displaystyle \mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1222d2a949a8768e141d88df747809f53b3ea592)
![{\displaystyle \mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5226ba8ed9ffd6b6ec12a061d9d86f50ab67343)
![{\displaystyle \mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b86ce6bb5928d1f4731f203e801faba8e5c63da)
![{\displaystyle \mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307f59b73adda70480db8b9da6bcfeefa550a4cf)
或者更为一般的矩
![{\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4312e83afd5c005d79446d9025a3124c158672d7)
局部期望[编辑]
随机变量
在阈值
上的局部期望定义为
![{\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }(x-k)f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6def9064c9fdfa652f3cb15508d29dcbb2250b)
其中
是概率密度。对于对数正态概率密度,这个定义可以表示为
![{\displaystyle g(k)=\exp(\mu +\sigma ^{2}/2)\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu +\sigma ^{2}}{\sigma }}\right)-k\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu }{\sigma }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7894c1bf58963bda0e52f94a6c3683347ea400)
其中
是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用,著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。
参数的最大似然估计[编辑]
为了确定对数正态分布参数
与
的最大似然估计,我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看
![{\displaystyle f_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a88f187534699c672126590836cf87dcb4a014)
其中用
表示对数正态分布的概率密度函数,用
— 表示正态分布。因此,用与正态分布同样的指数,我们可以得到对数最大似然函数:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{L}(\mu ,\sigma |x_{1},x_{2},...,x_{n})&=&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})=\\\\\ &=&\operatorname {constant} +\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553307708022304a69849f0bb5901c2e5d3c40f5)
由于第一项相对于
与
来说是常数,两个对数最大似然函数
与
在同样的
与
处有最大值。因此,根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程,我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计
![{\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0dcee13fe1963517d72e40392bd9367e5724d8)
相关分布[编辑]
- 如果
与
,则
是正态分布。
- 如果
是有同样
参数、而
可能不同的统计独立对数正态分布变量 ,并且
,则
也是对数正态分布变量:
。
进一步的阅读资料[编辑]
参考文献[编辑]
- 对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
- Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues (页面存档备份,存于互联网档案馆), E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
- 对数正态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
- Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布 (页面存档备份,存于互联网档案馆) at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.