齊夫定律

齐夫定律

概率质量函數 横纵坐标均为对数比例下，齐夫定律的概率质量函数的图像，其中N = 10。横坐标是指数k 。（注意，函数仅在k为整数时有定义，图上的连线不代表函数连续。）
累積分布函數 横纵坐标均为对数比例下，齐夫定律的累计分布函数的图像，其中N = 10。横坐标是指数k 。（注意，函数仅在k为整数时有定义，图上的连线不代表函数连续。）
参数	$s>0\,$（实数） $N\in \{1,2,3\ldots \}$（正整数）
值域	$k\in \{1,2,\ldots ,N\}$
概率质量函数	${\frac {1/k^{s}}{H_{N,s}}}$
累積分布函數	${\frac {H_{k,s}}{H_{N,s}}}$
期望值	${\frac {H_{N,s-1}}{H_{N,s}}}$
眾數	$1\,$
熵	${\frac {s}{H_{N,s}}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {\ln(k)}{k^{s}}}+\ln(H_{N,s})$
矩生成函数	${\frac {1}{H_{N,s}}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{nt}}{n^{s}}}$
特徵函数	${\frac {1}{H_{N,s}}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{int}}{n^{s}}}$

齐夫定律（英語：Zipf's law，IPA/ˈzɪf/）是由哈佛大學的語言學家喬治·金斯利·齊夫（George Kingsley Zipf）于1949年发表的实验定律。它可以表述为：在自然语言的語料庫裡，一个单词出现的频率与它在频率表里的排名成反比。所以，频率最高的单词出现的频率大约是出现频率第二位的单词的2倍，而出现频率第二位的单词则是出现频率第四位的单词的2倍。这个定律被作为任何与冪定律概率分布有关的事物的参考。

例子

最简单的齐夫定律的例子是“1/f function”。给出一组齐夫分布的频率，按照从最常见到非常见排列，第二常见的频率是最常见频率的出现次数的½，第三常见的频率是最常见的频率的1/3，第n常见的频率是最常见频率出现次数的1/n。然而，这并不精确，因为所有的项必须出现一个整数次数，一个单词不可能出现2.5次。

在Brown語料庫中，“the”、“of”、“and”是出現頻率最前的三個單詞，其出現的頻數分別為69971次、36411次、28852次，大約佔整個語料庫100萬個單詞中的7%、3.6%、2.9%，其比例約為6：3：2。大約佔整個語料庫的7%（100万单词中出现69971次）。满足齐夫定律中的描述。仅仅前135個字彙就佔了Brown語料庫的一半。

齐夫定律是一个实验定律，而非理论定律，可以在很多非语言学排名中被观察到，例如不同国家中城市的数量、公司的规模、收入排名等。但它的起因是一个争论的焦点。齐夫定律很容易用点阵图观察，坐标分别为排名和频率的自然对数（log）。比如，“the”用上述表述可以描述为x = log(1), y = log（69971）的点。如果所有的点接近一条直线，那么它就遵循齐夫定律。

遵循该定律的现象

• 单词的出现频率:不仅适用于语料全体,也适用于单独的一篇文章
• 网页访问频率
• 城市人口
• 收入前3%的人的收入
• 地震震级
• 固体破碎时的碎片大小

參見

• 經驗公式

延伸閱讀

主要:

• George K. Zipf（1949）Human Behavior and the Principle of Least Effort. Addison-Wesley.
• George K. Zipf (1935) The Psychobiology of Language. Houghton-Mifflin.（see citations at http://citeseer.ist.psu.edu/context/64879/0）

次要:

• Lada Adamic. Zipf, Power-laws, and Pareto - a ranking tutorial. http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking/ranking.html
• Alexander Gelbukh and Grigori Sidorov (2001) "Zipf and Heaps Laws’ Coefficients Depend on Language". Proc. CICLing-2001, Conference on Intelligent Text Processing and Computational Linguistics, February 18–24, 2001, Mexico City. Lecture Notes in Computer Science N 2004, ISSN 0302-9743, ISBN 3-540-41687-0, Springer-Verlag: 332–335.
• Damián H. Zanette (2006) "Zipf's law and the creation of musical context," Musicae Scientiae 10: 3-18.
• Kali R. (2003) "The city as a giant component: a random graph approach to Zipf's law," Applied Economics Letters 10: 717-720（4）
• Gabaix, Xavier. Zipf's Law for Cities: An Explanation (PDF). Quarterly Journal of Economics. August 1999, 114 (3): 739–67. ISSN 0033-5533. doi:10.1162/003355399556133. 
• Axtell, Robert L; Zipf distribution of US firm sizes, Science, 293, 5536, 1818, 2001, American Association for the Advancement of Science

外部連結

• Steven, Strogatz. Guest Column: Math and the City. The New York Times. 2009-05-29 [2009-05-29]. —An article on Zipf's law applied to city populations
• Seeing Around Corners (Artificial societies turn up Zipf's law)
• PlanetMath article on Zipf's law
• Distributions de type "fractal parabolique" dans la Nature (French, with English summary)
• An analysis of income distribution
• Zipf List of French words
• Zipf list for English, French, Spanish, Italian, Swedish, Icelandic, Latin, Portuguese and Finnish from Gutenberg Project and online calculator to rank words in texts
• Citations and the Zipf–Mandelbrot's law
• Zipf's Law for U.S. Cities by Fiona Maclachlan, Wolfram Demonstrations Project.
• 埃里克·韦斯坦因. Zipf's Law. MathWorld. 
• Zipf's Law examples and modelling (1985)
• Complex systems: Unzipping Zipf's law (2011)
• Benford’s law, Zipf’s law, and the Pareto distribution by Terence Tao.