数列极限

極限，即為一個數列$\{a_{n}\}$，使得$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$，其中L為一確定的常數，亦即數列$\{a_{n}\}$隨著n的增加而趨近於L。

定義

设$\{x_{n}\},x_{n}\in \mathrm {R} ,n=1,2,\ldots ,x_{0}\in \mathrm {R}$，

对于任意的正实数$\epsilon$，存在自然数N，使得当n>N时，有 $|x_{n}-x_{0}|<\epsilon$，

用符号来表示即 $\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,|x_{n}-x_{0}|<\epsilon$

则称数列$\{x_{n}\}$收敛于$x_{0}$，记作$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$。

收斂數列

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

數列極限的性質

定理1（唯一性）若數列$\left\{{x_{n}}\right\}$的極限存在，則極限是唯一的.

   證：設數列$\left\{{x_{n}}\right\}$有兩個不相符的極限值a、b，則對應於$d=\left|{a-b}\right|>0$，可找到正數$N$，使$n>N$時，恆有
   $\left|{{x_{n}}-a}\right|<{\frac {d}{2}}{\begin{array}{*{20}{c}},&{\left|{{x_{n}}-b}\right|}\end{array}}<{\frac {d}{2}}$，
   從而$\left|{a-b}\right|=\left|{\left({a-{x_{n}}}\right)-\left({b-{x_{n}}}\right)}\right|\leq \left|{a-{x_{n}}}\right|+\left|{b-{x_{n}}}\right|<d.$
   這與假設$d=\left|{a-b}\right|$不符.
   故$\left\{{x_{n}}\right\}$不可能以兩個不相等的數為極限.

定理2（有界性）若數列$\left\{{x_{n}}\right\}$有極限，則$\left\{{x_{n}}\right\}$有界，即$\exists M>0,\forall n\in {\rm {N}}$，有$\left|{x_{n}}\right|\leq M$.

   證：應$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$，所以對$\varepsilon =1$，$\exists N\in {\rm {N}}$，當$n>N$時有
                            $\left|{{x_{n}}-{x_{0}}}\right|<\varepsilon =1$，
   從而
                            $\left|{x_{n}}\right|=\left|{{x_{n}}-{x_{0}}+{x_{0}}}\right|\leq \left|{{x_{n}}-{x_{0}}}\right|+\left|{x_{0}}\right|<1+\left|{x_{0}}\right|$.
   令$M=\max \left({\left|{x_{1}}\right|,\left|{x_{2}}\right|,\cdots ,\left|{x_{N}}\right|,1+\left|{x_{0}}\right|}\right)$，於是，$\forall n\in {\rm {N}}$，有$\left|{x_{n}}\right|\leq M$，即$\left\{{x_{n}}\right\}$有界.

但有界數列不一定有極限，如數列

$1,0,1,0,\cdots {\frac {1-{{\left({-1}\right)}^{n}}}{2}},\cdots$

有界，但無極限.

如數列無界，則數列發散.

定理3（保序性）若$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$，且$a>b$，則$\exists N\in {\rm {N}}$，$\forall n\in N$，有${x_{n}}>{y_{n}}$.

   證：已知$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$，且$a>b$.取$\varepsilon ={\frac {a-b}{2}}>0$，由極限定義知：
   $\exists {N_{1}}\in {\rm {N}},\forall n>{N_{1}}$，有
                                     $\left|{{x_{n}}-a}\right|<{\frac {a-b}{2}}$，
   從而
                                     ${x_{n}}>a-{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$.
   $\exists {N_{2}}\in {\rm {N}},\forall n>{N_{2}}$，有
                                     $\left|{{y_{n}}-b}\right|<{\frac {a-b}{2}}$，
   從而
                                     ${y_{n}}>b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$.
   所以當$n>N=\max \left({{N_{1}},{N_{2}}}\right)$時，有
                                     ${y_{n}}<{\frac {a+b}{2}}<{x_{n}}$，
   即                                            ${x_{n}}>{y_{n}}$.

數列的四則運算

設$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$，則

（1）$\lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\pm \lim _{n\to \infty }{y_{n}}$；

（2）$\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot \lim _{n\to \infty }{y_{n}}$；

（3）若$b\neq 0,{y_{n}}\neq 0$,則$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }{x_{n}}}{\lim _{n\to \infty }{y_{n}}}}$.

參看

• 極限