球對稱位勢:修订间差异
→類氫原子: 公式有误 |
|||
(未显示11个用户的27个中间版本) | |||
第5行: | 第5行: | ||
:<math> - \frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi + V(r)\psi=E\psi</math>; |
:<math> - \frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi + V(r)\psi=E\psi</math>; |
||
其中,<math>\hbar</math> |
其中,<math>\hbar</math>是[[普朗克常數]],<math>\mu</math>是粒子的[[質量]],<math>\psi</math>是粒子的[[波函數]],<math>V</math>是[[位勢]],<math>r</math>是徑向距離,<math>E</math>是[[能量]]。 |
||
由於球對稱位勢 |
由於球對稱位勢<math>V(r)</math>只與徑向距離有關,與天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>無關,為了便利分析,可以採用[[球坐標]]<math>(r,\ \theta,\ \phi)</math>來表達這問題的薛丁格方程式。然後,使用[[分離變數法]],可以將[[薛丁格方程式]]分為兩部分,徑向部分與角部分。 |
||
==薛丁格方程式== |
==薛丁格方程式== |
||
採用球坐標 |
採用球坐標<math>(r,\ \theta,\ \phi)</math>,將[[拉普拉斯算子]]<math>\nabla^2</math>展開: |
||
:<math>-\frac{\hbar^2}{2\mu r^2}\left \{ \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\left[\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]\right \}\psi +V(r)\psi= E\psi</math> |
:<math>-\frac{\hbar^2}{2\mu r^2}\left \{ \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\left[\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]\right \}\psi +V(r)\psi= E\psi</math>。 |
||
滿足薛丁格方程式的[[本徵函數]] |
滿足薛丁格方程式的[[本徵函數]]<math>\psi</math>的形式為: |
||
:<math>\psi(r,\ \theta,\ \phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)</math> |
:<math>\psi(r,\ \theta,\ \phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)</math>, |
||
其中,<math>R(r)</math> |
其中,<math>R(r)</math>,<math>\Theta(\theta)</math>,<math>\Phi(\phi)</math>,都是函數。<math>\Theta(\theta)</math>與<math>\Phi(\phi)</math>時常會合併為一個函數,稱為[[球諧函數]],<math>Y_{lm}(\theta,\ \phi)=\Theta(\theta)\Phi(\phi)</math>。這樣,本徵函數<math>\psi</math>的形式變為: |
||
:<math>\psi(r,\ \theta,\ \phi) = R(r)Y_{lm}(\theta,\ \phi)</math> |
:<math>\psi(r,\ \theta,\ \phi) = R(r)Y_{lm}(\theta,\ \phi)</math>。 |
||
==角部分解答== |
==角部分解答== |
||
參數為天頂角 |
參數為天頂角<math>\theta</math>、方位角<math>\phi</math>的球諧函數<math>Y_{lm}</math>,滿足角部分方程式 |
||
:<math> -\frac{1}{\sin^2\theta} \left[ |
:<math> -\frac{1}{\sin^2\theta} \left[ |
||
\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \Big(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\Big) |
\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \Big(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\Big) |
||
+\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right] Y_{lm}(\theta,\phi) |
+\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right] Y_{lm}(\theta,\phi) |
||
= l(l+1)Y_{lm}(\theta,\phi)</math> |
= l(l+1)Y_{lm}(\theta,\phi)</math>; |
||
其中,非負整數 |
其中,非負整數<math>l</math>是[[角動量]]的'''角量子數'''。<math>m</math>(滿足<math> - l\le m\le l</math>)是角動量對於z-軸的(量子化的)[[投影]]。不同的<math>l</math>與<math>m</math>給予不同的球諧函數解答<math>Y_{lm}</math>: |
||
:<math> Y_{lm}(\theta,\ \phi) =(i)^{m+|m|} \sqrt{{(2l+1)\over 4\pi}{(l - |m|)!\over |
:<math> Y_{lm}(\theta,\ \phi) =(i)^{m+|m|} \sqrt{{(2l+1)\over 4\pi}{(l - |m|)!\over(l+|m|)!}} \, P_{lm} (\cos{\theta}) \, e^{im\phi}</math>; |
||
其中,<math>i</math> |
其中,<math>i</math>是[[虛數單位]],<math>P_{lm}(\cos{\theta})</math>是[[伴隨勒讓德多項式]],用方程式定義為 |
||
:<math>P_{lm}(x) = (1 - x^2)^{|m|/2}\ \frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_l(x)</math> |
:<math>P_{lm}(x) = (1 - x^2)^{|m|/2}\ \frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_l(x)</math>; |
||
而 |
而<math>P_l(x)</math>是<math>l</math>階[[勒讓德多項式]],可用[[羅德里格公式]]表示為 |
||
:<math>P_l(x) = {1 \over 2^l l!} {d^l \over dx^l }(x^2 - 1)^l</math> |
:<math>P_l(x) = {1 \over 2^l l!} {d^l \over dx^l }(x^2 - 1)^l</math>。 |
||
==徑向部分解答== |
==徑向部分解答== |
||
將角部分解答代入薛丁格方程式,則可得到一個一維的二階微分方程式: |
將角部分解答代入薛丁格方程式,則可得到一個一維的二階微分方程式: |
||
:<math>\left \{ - {\hbar^2 \over 2\mu r^2} {d\over dr}\left(r^2{d\over dr}\right) +{\hbar^2 l(l+1)\over 2\mu r^2}+V(r) \right \} R(r)=ER(r)</math> |
:<math>\left \{ - {\hbar^2 \over 2\mu r^2} {d\over dr}\left(r^2{d\over dr}\right) +{\hbar^2 l(l+1)\over 2\mu r^2}+V(r) \right \} R(r)=ER(r)</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span> |
||
設定函數 |
設定函數<math>u(r)=r R(r)</math>。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算,可以得到 |
||
:<math> - {\hbar^2 \over 2\mu } {d^2 u(r)\over dr^2} +{\hbar^2 l(l+1)\over 2\mu r^2}u(r)+V(r) u(r)=Eu(r)</math> |
:<math> - {\hbar^2 \over 2\mu } {d^2 u(r)\over dr^2} +{\hbar^2 l(l+1)\over 2\mu r^2}u(r)+V(r) u(r)=Eu(r)</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span> |
||
徑向方程式變為 |
徑向方程式變為 |
||
:<math>-{\hbar^2 \over 2\mu } {d^2 u(r) \over dr^2} + V_{\mathrm{eff}}(r) u(r) = E u(r)</math> |
:<math>-{\hbar^2 \over 2\mu } {d^2 u(r) \over dr^2} + V_{\mathrm{eff}}(r) u(r) = E u(r)</math>;<span style="position:absolute;right:15%">(3)</span> |
||
其中,有效位勢 |
其中,有效位勢<math>V_{\mathrm{eff}}(r)=V(r)+\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2\mu r^2}</math>。 |
||
這正是函數為 |
這正是函數為<math>u(r)</math>,有效位勢為<math>V_{\mathrm{eff}}</math>的薛丁格方程式。徑向距離<math>r</math>的定義域是從<math>0</math>到<math>\infty</math>。新加入有效位勢的項目,稱為[[離心力|離心位勢]]。 |
||
為了要更進一步解析方程式 |
為了要更進一步解析方程式(2),必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。 |
||
==實例== |
==實例== |
||
在這裏,有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點,那就是,它們的位勢都是球對稱的。因此,它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是: |
在這裏,有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點,那就是,它們的位勢都是球對稱的。因此,它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是: |
||
#<math>V(r)=0</math> |
#<math>V(r)=0</math>:原方程變為[[亥姆霍兹方程]]<math>(\nabla^2 + \frac{2\mu E}{\hbar^2})A = 0</math>,使用球諧函數為[[正交歸一性|正交歸一基]],解析眞空狀況實例。這實例可以做為別的實例的基礎。 |
||
#當 |
#當<math>r<r_0</math>時,<math>V(r)=0</math>;否則,<math>V(r)=\infty</math>:這實例比第一個實例複雜一點,可以描述三維的圓球形盒子中的粒子的量子行為。 |
||
#<math>V(r)\propto r^2</math> |
#<math>V(r)\propto r^2</math>:研討三維[[均向性]][[諧振子]]的實例。在量子力學裏,是少數幾個存在簡單的[[解析解]]的量子模型。 |
||
#<math>V(r)\propto 1/r</math> |
#<math>V(r)\propto 1/r</math>:關於[[類氫原子]]的[[束縛態]]的實例,也有簡單的解析解。 |
||
===真空狀況實例=== |
===真空狀況實例=== |
||
思考 |
思考<math>V(r)=0</math>的狀況,設定<math>k\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{2\mu E\over\hbar^2}</math>,在設定[[無因次]]的變數 |
||
:<math>\rho\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ kr</math> |
:<math>\rho\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ kr</math>。 |
||
代入方程式 |
代入方程式(2),定義<math>J(\rho)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\rho} R(r)</math>,就會得到[[貝塞爾函數|貝塞爾方程式]],一個二階常[[微分方程式]]: |
||
:<math>\rho^2{d^2J\over d\rho^2}+\rho{dJ\over d\rho}+\left[\rho^2-\left(l+\frac{1}{2}\right)^2\right]J=0</math> |
:<math>\rho^2{d^2J\over d\rho^2}+\rho{dJ\over d\rho}+\left[\rho^2-\left(l+\frac{1}{2}\right)^2\right]J=0</math>。 |
||
貝塞爾方程式的解答是[[貝塞爾函數#第一類貝塞爾函數|第一類貝塞爾函數]] |
貝塞爾方程式的解答是[[貝塞爾函數#第一類貝塞爾函數|第一類貝塞爾函數]]<math>J_{l+1/2}(\rho)</math>;而<math>R(r)</math>是第一類[[貝塞爾函數#球貝塞爾函數|球貝塞爾函數]]<br/>(真空解的[[邊界條件]]要求原點的函數值有限,因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的係數必須為零): |
||
:<math>R(r) = j_l(kr) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\pi/(2kr)} J_{l+1/2}(kr)</math> |
:<math>R(r) = j_l(kr) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\pi/(2kr)} J_{l+1/2}(kr)</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(4)</span> |
||
在眞空裏,一個粒子的薛丁格方程 |
在眞空裏,一個粒子的薛丁格方程(即自由空間中的[[线性方程组#齐次线性方程组|齊次]][[亥姆霍兹方程]])的解,以球坐標來表達,是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積: |
||
:<math>\psi(r,\ \theta,\ \phi)=A_{kl}j_l(kr)Y_{lm}(\theta,\phi)</math> |
:<math>\psi(r,\ \theta,\ \phi)=A_{kl}j_l(kr)Y_{lm}(\theta,\phi)</math>; |
||
其中,歸一常數<math>A_{kl}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,k</math> |
其中,歸一常數<math>A_{kl}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,k</math>,<math>l</math>是非負整數,<math>m</math>是整數,<math> - l \le m\le l</math>,<math>k</math>是實數,<math>k \ge 0</math>。 |
||
這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。 |
這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。 |
||
第77行: | 第77行: | ||
====波函數歸一化導引==== |
====波函數歸一化導引==== |
||
波函數的角部分已經歸一化,剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為 |
波函數的角部分已經歸一化,剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為 |
||
:<math>1=A_{kl}^2\int_0^{\infty}\ r^2 j_l^2(kr)\ dr</math> |
:<math>1=A_{kl}^2\int_0^{\infty}\ r^2 j_l^2(kr)\ dr</math>。 |
||
根據球貝塞爾函數的[[貝塞爾函數#性質|封閉方程式]], |
根據球貝塞爾函數的[[貝塞爾函數#性質|封閉方程式]], |
||
:<math>\int_0^{\infty}\ x^2 j_{\alpha}(k_1 x) j_{\alpha}(k_2 x)\ dx = \frac{\pi}{2k_1^2}\delta(k_1-k_2)</math> |
:<math>\int_0^{\infty}\ x^2 j_{\alpha}(k_1 x) j_{\alpha}(k_2 x)\ dx = \frac{\pi}{2k_1^2}\delta(k_1-k_2)</math>; |
||
其中,<math>\alpha>0</math> |
其中,<math>\alpha>0</math>,<math>\delta_{k}</math>为[[克罗内克δ]]。 |
||
所以,<math>1=A_{kl}^2\frac{\pi}{2k^2}</math> |
所以,<math>1=A_{kl}^2\frac{\pi}{2k^2}</math>。取平方根,歸一常數<math>A_{kl}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,k</math>。 |
||
===球對稱的三維無限深方形位勢阱 === |
===球對稱的三維無限深方形位勢阱 === |
||
[[File:Spherical_Bessel_j_Functions_ |
[[File:Spherical_Bessel_j_Functions_(n=0,1,2).svg|thumb|350px|球貝塞爾函數<math>j_l(x)</math>。]] |
||
思考一個球對稱的無限深方形阱,阱內位勢為 |
思考一個球對稱的無限深方形阱,阱內位勢為0,阱外位勢為無限大。用方程式表達: |
||
:<math>V(r)= |
:<math>V(r)= |
||
\begin{cases} |
\begin{cases} |
||
第95行: | 第95行: | ||
\infty, & \mbox{if }r > r_0 |
\infty, & \mbox{if }r > r_0 |
||
\end{cases} |
\end{cases} |
||
</math> |
</math>。 |
||
其中,<math>r_0</math> |
其中,<math>r_0</math>是球對稱阱的半徑。 |
||
立刻,可以察覺,阱外的波函數是 |
立刻,可以察覺,阱外的波函數是0;而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同,波函數是球貝塞爾函數<math>R(r) = j_l(kr)</math>。為了滿足邊界條件,波函數必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函數,球貝塞爾函數在徑向坐標<math>r =r_0</math>之處必須等於0: |
||
:<math>j_l(kr_0)=0</math> |
:<math>j_l(kr_0)=0</math>。 |
||
設定 |
設定<math>\xi_{nl}</math>為<math>l</math>階球貝塞爾函數<math>j_l</math>的第<math>n</math>個0點,則<math>k_{nl}r_0=\xi_{nl}</math>。 |
||
那麼,離散的[[能級]] |
那麼,離散的[[能級]]<math>E_{nl}</math>為 |
||
:<math>E_{nl}=\frac{\hbar^2 k_{nl}^2}{2\mu}=\frac{\hbar^2 \xi_{nl}^2}{2\mu r_0^2}</math> |
:<math>E_{nl}=\frac{\hbar^2 k_{nl}^2}{2\mu}=\frac{\hbar^2 \xi_{nl}^2}{2\mu r_0^2}</math>。 |
||
薛丁格方程式的整個解答是 |
薛丁格方程式的整個解答是 |
||
:<math>\psi_{nlm}(r,\ \theta,\ \phi)=A_{nl} j_l(\xi_{nl}\,r/r_0)\, Y_{lm}(\theta,\ \phi)</math> |
:<math>\psi_{nlm}(r,\ \theta,\ \phi)=A_{nl} j_l(\xi_{nl}\,r/r_0)\, Y_{lm}(\theta,\ \phi)</math>; |
||
其中,歸一常數 |
其中,歸一常數<math>A_{nl}=\left(\frac{2}{r_0^3}\right)^{1/2}\frac{1}{j_{l+1}(\xi_{nl})}</math>。 |
||
====波函數歸一化導引==== |
====波函數歸一化導引==== |
||
波函數的角部分已經歸一化,剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為 |
波函數的角部分已經歸一化,剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為 |
||
:<math>1=A_{nl}^2\int_0^{r_0}\ r^2 j_l^2(k_{nl}r)\ dr</math> |
:<math>1=A_{nl}^2\int_0^{r_0}\ r^2 j_l^2(k_{nl}r)\ dr</math>; |
||
將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式 |
將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式(4)代入積分: |
||
:<math>1=A_{nl}^2\int_0^{r_0}\ r^2\ \frac{\pi}{2k_{nl}r}\ J_{l+1/2}^2(k_{nl}r)\ dr=A_{nl}^2\frac{\pi}{2k_{nl}}\int_0^{r_0}\ rJ_{l+1/2}^2(k_{nl}r)\ dr</math> |
:<math>1=A_{nl}^2\int_0^{r_0}\ r^2\ \frac{\pi}{2k_{nl}r}\ J_{l+1/2}^2(k_{nl}r)\ dr=A_{nl}^2\frac{\pi}{2k_{nl}}\int_0^{r_0}\ rJ_{l+1/2}^2(k_{nl}r)\ dr</math>。 |
||
設定變數 |
設定變數<math>x=r/r_0</math>,代入積分: |
||
:<math>1=A_{nl}^2\frac{\pi r_0^2}{2k_{nl}}\int_0^{1}\ xJ_{l+1/2}^2(k_{nl}r_0 x)\ dx=A_{nl}^2\frac{\pi r_0^3}{2\xi_{nl}}\int_0^{1}\ xJ_{l+1/2}^2(\xi_{nl}x)\ dx</math> |
:<math>1=A_{nl}^2\frac{\pi r_0^2}{2k_{nl}}\int_0^{1}\ xJ_{l+1/2}^2(k_{nl}r_0 x)\ dx=A_{nl}^2\frac{\pi r_0^3}{2\xi_{nl}}\int_0^{1}\ xJ_{l+1/2}^2(\xi_{nl}x)\ dx</math>。 |
||
根據貝塞爾函數的[[正交歸一性]][[貝塞爾函數#性質|方程式]], |
根據貝塞爾函數的[[正交歸一性]][[貝塞爾函數#性質|方程式]], |
||
:<math>\int_0^1 x J_\alpha(x \xi_{m\alpha}) J_\alpha(x \xi_{n\alpha}) dx = \frac{\delta_{mn}}{2} J_{\alpha+1}(\xi_{n\alpha})^2</math> |
:<math>\int_0^1 x J_\alpha(x \xi_{m\alpha}) J_\alpha(x \xi_{n\alpha}) dx = \frac{\delta_{mn}}{2} J_{\alpha+1}(\xi_{n\alpha})^2</math>; |
||
其中,<math>\alpha > - 1</math> |
其中,<math>\alpha > - 1</math>,<math>\delta_{mn}</math>为[[克罗内克δ]],<math>\xi_{n\alpha}</math>表示<math>J_\alpha(x)</math>的第<math>n</math>個0點。 |
||
注意到 |
注意到<math>j_l(x)</math>的第<math>n</math>個0點<math>\xi_{nl}</math>也是<math>J_{l+1/2}(x)</math>的第<math>n</math>個0點。所以, |
||
:<math>1=A_{nl}^2\ \frac{\pi r_0^3}{4\xi_{nl}}\ J_{l+3/2}^2(\xi_{nl})=A_{nl}^2\ \frac{r_0^3}{2}\ j_{l+1}^2(\xi_{nl})</math> |
:<math>1=A_{nl}^2\ \frac{\pi r_0^3}{4\xi_{nl}}\ J_{l+3/2}^2(\xi_{nl})=A_{nl}^2\ \frac{r_0^3}{2}\ j_{l+1}^2(\xi_{nl})</math>。 |
||
取平方根,歸一常數 |
取平方根,歸一常數<math>A_{nl}=\left(\frac{2}{r_0^3}\right)^{1/2} \frac{1}{j_{l+1}(\xi_{nl})}</math>。 |
||
===三維均向諧振子 === |
===三維均向諧振子 === |
||
第136行: | 第136行: | ||
三維均向[[諧振子]]的位勢為 |
三維均向[[諧振子]]的位勢為 |
||
:<math> V(r) = \tfrac{1}{2} \mu \omega^2 r^2</math> |
:<math> V(r) = \tfrac{1}{2} \mu \omega^2 r^2</math>; |
||
其中,<math>\omega</math> |
其中,<math>\omega</math>是[[角頻率]]。 |
||
用[[量子諧振子#N維諧振子|階梯算符]]的方法,可以證明 |
用[[量子諧振子#N維諧振子|階梯算符]]的方法,可以證明N維諧振子的能量是 |
||
:<math>E_n = \hbar \omega( n + \tfrac{N}{2})\quad\hbox{with}\quad n=0,1,\ldots,\infty, |
:<math>E_n = \hbar \omega( n + \tfrac{N}{2})\quad\hbox{with}\quad n=0,1,\ldots,\infty, |
||
</math> |
</math>。 |
||
所以,三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是 |
所以,三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是 |
||
:<math>\left[ - {\hbar^2 \over 2\mu } {d^2 \over dr^2} + {\hbar^2l(l+1) \over 2\mu r^2}+\frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2 - \hbar\omega(n+\frac{3}{2}) \right] u(r) =0</math> |
:<math>\left[ - {\hbar^2 \over 2\mu } {d^2 \over dr^2} + {\hbar^2l(l+1) \over 2\mu r^2}+\frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2 - \hbar\omega(n+\frac{3}{2}) \right] u(r) =0</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(5)</span> |
||
設定常數 |
設定常數<math>\gamma</math>, |
||
:<math>\gamma \equiv \frac{\mu \omega}{\hbar}</math>。 |
:<math>\gamma \equiv \frac{\mu \omega}{\hbar}</math>。 |
||
回想 |
回想<math>u(r) = r R(r)</math>,則徑向薛丁格方程式有一個[[歸一化]]的解答: |
||
:<math>R_{nl}(r) =N_{nl} \, r^{l} \, e^{ - \frac{1}{2}\gamma r^2}\; L^{(l+\frac{1}{2})}_{\frac{1}{2}(n - l)}(\gamma r^2)</math> |
:<math>R_{nl}(r) =N_{nl} \, r^{l} \, e^{ - \frac{1}{2}\gamma r^2}\; L^{(l+\frac{1}{2})}_{\frac{1}{2}(n - l)}(\gamma r^2)</math>; |
||
其中,函數 |
其中,函數<math>L^{(\alpha)}_k(\gamma r^2)</math>是[[拉盖尔多项式#广义拉盖尔多项式|广义拉盖尔多项式]],<math>N_{nl}</math>是歸一化常數: |
||
:<math> N_{nl} = \left[\frac{ 2^{n+l+2} \,\gamma^{l+\frac{3}{2}} } {\pi^{\frac{1}{2}}}\right]^{\frac{1}{2}}\left[\frac{ [\frac{1}{2}(n - l)]!\;[\frac{1}{2}(n+l)]!}{(n+l+1)!}\right]^{\frac{1}{2}}</math> |
:<math> N_{nl} = \left[\frac{ 2^{n+l+2} \,\gamma^{l+\frac{3}{2}} } {\pi^{\frac{1}{2}}}\right]^{\frac{1}{2}}\left[\frac{ [\frac{1}{2}(n - l)]!\;[\frac{1}{2}(n+l)]!}{(n+l+1)!}\right]^{\frac{1}{2}}</math>。 |
||
本徵能級 |
本徵能級<math>E_n</math>的本徵函數<math>R_{nl}</math>,乘以球諧函數<math>Y_{lm}(\theta, \phi)</math>,就是薛丁格方程式的整個解答: |
||
:<math>\psi_{nlm} = R_{nl}(r)\, Y_{lm}(\theta,\ \phi)</math> |
:<math>\psi_{nlm} = R_{nl}(r)\, Y_{lm}(\theta,\ \phi)</math>; |
||
其中 |
其中<math> l = n,\ n-2,\ \ldots,\ l_\mathrm{min}</math>。假若<math>n</math>是偶數,設定<math>l_\mathrm{min}=0</math>;否則,設定<math>l_\mathrm{min}=1</math>。 |
||
====導引==== |
====導引==== |
||
在這導引裏,徑向方程式會被轉換為 |
在這導引裏,徑向方程式會被轉換為广义拉盖尔微分方程式。這方程式的解是广义拉盖尔多项式。再將广义拉盖尔多项式歸一化以後,就是所要的答案。 |
||
首先,將徑向坐標[[無因次|無因次化]],設定變數 |
首先,將徑向坐標[[無因次|無因次化]],設定變數<math>y= \sqrt{\gamma}r</math>;其中,<math>\gamma \equiv \frac{\mu \omega}{\hbar}</math>。則方程式(5)變為 |
||
:<math>\left[{d^2 \over dy^2} - {l(l+1) \over y^2} - y^2 + 2n - 3 \right] v(y) = 0 </math> |
:<math>\left[{d^2 \over dy^2} - {l(l+1) \over y^2} - y^2 + 2n - 3 \right] v(y) = 0 </math>;<span style="position:absolute;right:15%">(6)</span> |
||
其中,<math>v(y) = u \left(y / \sqrt{\gamma} \right)</math> |
其中,<math>v(y) = u \left(y / \sqrt{\gamma} \right)</math>是新的函數。 |
||
當 |
當<math>y</math>接近0時,方程式(6)最顯著的項目是 |
||
:<math>\left[{d^2 \over dy^2} - {l(l+1) |
:<math>\left[{d^2 \over dy^2} - {l(l+1)\over y^2} \right] v(y) = 0</math>。 |
||
所以, |
所以,<math>v(y)</math>與<math>y^{l+1}</math>成正比。 |
||
又當 |
又當<math>y</math>無窮遠時,方程式(6)最顯著的項目是 |
||
:<math>\left[{d^2 \over dy^2} - y^2\right] v(y) = 0 </math> |
:<math>\left[{d^2 \over dy^2} - y^2\right] v(y) = 0 </math>。 |
||
因此,<math>v(y)</math> |
因此,<math>v(y)</math>與<math>e^{-y^2/2}</math>成正比。 |
||
為了除去 |
為了除去<math>v(y)</math>在原點與無窮遠的極限性態,達到孤立解答函數的形式的目的,必須使用<math>v(y)</math>的替換方程式: |
||
:<math>v(y) = y^{l+1} e^{-y^2/2} f(y)</math> |
:<math>v(y) = y^{l+1} e^{-y^2/2} f(y)</math>。 |
||
經過一番運算,這個替換將微分方程式 |
經過一番運算,這個替換將微分方程式(6)轉換為 |
||
:<math>\left[{d^2 \over dy^2} + 2 \left(\frac{l+1}{y} - y\right)\frac{d}{dy} + 2n - 2l \right] f(y) = 0</math> |
:<math>\left[{d^2 \over dy^2} + 2 \left(\frac{l+1}{y} - y\right)\frac{d}{dy} + 2n - 2l \right] f(y) = 0</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(7)</span> |
||
=====轉換為 |
=====轉換為广义拉盖尔方程式===== |
||
設定變數 |
設定變數<math>x = y^2</math>,則微分算子為 |
||
:<math>\frac{d}{dy} = \frac{dx}{dy}\frac{d}{dx} = 2 y \frac{d}{dx} = 2 \sqrt{x} \frac{d}{dx}</math> |
:<math>\frac{d}{dy} = \frac{dx}{dy}\frac{d}{dx} = 2 y \frac{d}{dx} = 2 \sqrt{x} \frac{d}{dx}</math>, |
||
:<math>\frac{d^2}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( 2 y \frac{d}{dx} \right) = 4 x \frac{d^2}{dx^2} + 2 \frac{d}{dx}</math> |
:<math>\frac{d^2}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( 2 y \frac{d}{dx} \right) = 4 x \frac{d^2}{dx^2} + 2 \frac{d}{dx}</math>。 |
||
代入方程式 |
代入方程式(7),就可得到广义拉盖尔方程式: |
||
:<math>x\frac{d^2g}{dx^2} + \Big( (l+\tfrac{1}{2}) + 1 - x\Big) \frac{dg}{dx} + \tfrac{1}{2}(n-l) |
:<math>x\frac{d^2g}{dx^2} + \Big( (l+\tfrac{1}{2}) + 1 - x\Big) \frac{dg}{dx} + \tfrac{1}{2}(n-l)g(x) = 0</math>; |
||
其中,函數 |
其中,函數<math>g(x)\equiv f(\sqrt{x})</math>。 |
||
假若,<math>k \equiv (n-l)/2</math> |
假若,<math>k \equiv (n-l)/2</math>是一個非負整數,則广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式: |
||
:<math> g(x) = L_k^{(l+\frac{1}{2})}(x)</math> |
:<math> g(x) = L_k^{(l+\frac{1}{2})}(x)</math>。 |
||
因為 |
因為<math>k</math>是非負整數,要求 |
||
#<math>n \ge l</math> |
#<math>n \ge l</math>。 |
||
#<math>n</math> |
#<math>n</math>與<math>l</math>同時為奇數或同時為偶數。這證明了前面所述<math>l</math>必須遵守的條件。 |
||
=====波函數歸一化===== |
=====波函數歸一化===== |
||
回憶到 |
回憶到<math>u(r) = r R(r)</math>,徑向函數可以表達為 |
||
:<math>R_{nl}(r) =N_{nl} \, r^{l} \, e^{ - \frac{1}{2}\gamma r^2}\; L^{(l+\frac{1}{2})}_{\frac{1}{2}(n - l)}(\gamma r^2)</math> |
:<math>R_{nl}(r) =N_{nl} \, r^{l} \, e^{ - \frac{1}{2}\gamma r^2}\; L^{(l+\frac{1}{2})}_{\frac{1}{2}(n - l)}(\gamma r^2)</math>; |
||
⚫ | |||
<math>R_{nl}(r)</math>的歸一條件是 |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
:<math>\frac{N^2_{nl}}{2\gamma^{l+{3 \over 2}}} |
:<math>\frac{N^2_{nl}}{2\gamma^{l+{3 \over 2}}} |
||
\int^\infty_0 q^{l + {1 \over 2}} e^{ - q} \left [ L^{(l+\frac{1}{2})}_{\frac{1}{2}(n - l)}(q) \right ]^2 \, dq = 1</math> |
\int^\infty_0 q^{l + {1 \over 2}} e^{ - q} \left [ L^{(l+\frac{1}{2})}_{\frac{1}{2}(n - l)}(q) \right ]^2 \, dq = 1</math>。 |
||
應用 |
應用广义拉盖尔多项式的[[正交歸一性]],這方程式簡化為 |
||
:<math>\frac{N^2_{nl}}{2\gamma^{l+{3 \over 2}}} \cdot \frac{\Gamma[\frac{1}{2}(n+l+1)+1]}{[\frac{1}{2}(n-l)]!} = 1</math> |
:<math>\frac{N^2_{nl}}{2\gamma^{l+{3 \over 2}}} \cdot \frac{\Gamma[\frac{1}{2}(n+l+1)+1]}{[\frac{1}{2}(n-l)]!} = 1</math>。 |
||
因此,歸一常數可以表達為 |
因此,歸一常數可以表達為 |
||
:<math>N_{nl} = \sqrt{\frac{2 \, \gamma^{l+{3\over 2}} \, (\frac{n - l}{2})! }{\Gamma(\frac{n+l}{2}+\frac{3}{2})}} </math> |
:<math>N_{nl} = \sqrt{\frac{2 \, \gamma^{l+{3\over 2}} \, (\frac{n - l}{2})! }{\Gamma(\frac{n+l}{2}+\frac{3}{2})}} </math>。 |
||
應用[[伽瑪函數]]的數學特性,同時注意 |
應用[[伽瑪函數]]的數學特性,同時注意<math>n</math>與<math>l</math>的奇偶性相同,可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函數變為 |
||
:<math>\Gamma \left[{1 \over 2} + \left( \frac{n+l}{2} + 1 \right) \right] |
:<math>\Gamma \left[{1 \over 2} + \left( \frac{n+l}{2} + 1 \right) \right] |
||
= \frac{\sqrt{\pi}(n+l+1)!!}{2^{\frac{n+l}{2}+1}} = \frac{\sqrt{\pi}(n+l+1)!}{2^{n+l+1}[\frac{1}{2}(n+l)]!}</math> |
= \frac{\sqrt{\pi}(n+l+1)!!}{2^{\frac{n+l}{2}+1}} = \frac{\sqrt{\pi}(n+l+1)!}{2^{n+l+1}[\frac{1}{2}(n+l)]!}</math>。 |
||
在這裏用到了[[雙階乘]] ({{lang|en|double factorial}}) |
在這裏用到了[[雙階乘]] ({{lang|en|double factorial}})的定義。 |
||
所以,歸一常數等於 |
所以,歸一常數等於 |
||
:<math> N_{nl} = \left [ \frac{2^{n+l+2} \,\gamma^{l+{3 \over 2}}\,[{1 \over 2}(n-l)]!\;[{1 \over 2}(n+l)]!}{\;\pi^{1 \over 2} (n+l+1)! } \right ]^{1 \over 2} |
:<math> N_{nl} = \left [ \frac{2^{n+l+2} \,\gamma^{l+{3 \over 2}}\,[{1 \over 2}(n-l)]!\;[{1 \over 2}(n+l)]!}{\;\pi^{1 \over 2} (n+l+1)! } \right ]^{1 \over 2} |
||
</math> |
</math>。 |
||
===類氫原子=== |
===類氫原子=== |
||
{{main|類氫原子}} |
{{main|類氫原子}} |
||
類氫原子只含有一個[[原子核]]與一個[[電子]],是個簡單的[[二體問題|二體系統]]。兩個物體之間,互相作用的位勢遵守[[庫侖定律]]: |
類氫原子只含有一個[[原子核]]與一個[[電子]],是個簡單的[[二體問題|二體系統]]。兩個物體之間,互相作用的位勢遵守[[庫侖定律]]: |
||
:<math>V(r) = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r}</math> |
:<math>V(r) = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r}</math>; |
||
其中,<math>\epsilon_0</math> |
其中,<math>\epsilon_0</math>是[[真空電容率]],<math>Z</math>是[[原子序]],<math>e</math>是[[單位電荷量]],<math>r</math>是電子離[[原子核]]的徑向距離。 |
||
將位勢代入方程式 |
將位勢代入方程式(1), |
||
:<math>\left \{ - {\hbar^2 \over 2\mu r^2} {d\over dr}\left(r^2{d\over dr}\right) +{\hbar^2 l(l+1)\over 2\mu r^2} - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r} \right \} R(r)=ER(r)</math> |
:<math>\left \{ - {\hbar^2 \over 2\mu r^2} {d\over dr}\left(r^2{d\over dr}\right) +{\hbar^2 l(l+1)\over 2\mu r^2} - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r} \right \} R(r)=ER(r)</math>。 |
||
這方程式的解答是 |
這方程式的解答是 |
||
:<math> R_{nl} (r) = \sqrt {{\left ( \frac{2 Z}{n a_{\mu}} \right ) }^3\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!} } e^{- Z r / {n a_{\mu}}} \left ( \frac{2 Z r}{n a_{\mu}} \right )^{l} L_{n-l-1}^{2l+1} \left ( \frac{2 Z r}{n a_{\mu}} \right ) </math> |
:<math> R_{nl} (r) = \sqrt {{\left ( \frac{2 Z}{n a_{\mu}} \right ) }^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3} } e^{- Z r / {n a_{\mu}}} \left ( \frac{2 Z r}{n a_{\mu}} \right )^{l} L_{n-l-1}^{2l+1} \left ( \frac{2 Z r}{n a_{\mu}} \right ) </math>; |
||
其中,<math>a_{\mu} = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{\mu e^2}}</math> |
其中,<math>a_{\mu} = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{\mu e^2}}</math>。<math>a_{\mu}</math>近似於[[波耳模型|波耳半徑]]<math>a_0</math>。假若,原子核的質量是無限大的,則<math>a_\mu = a_0</math>,並且,約化質量等於電子的質量,<math>\mu=m_e</math>。<math>L_{n-l-1}^{2l+1}</math>是广义拉盖尔多项式,定義為<ref name="Abramowitz">{{Citation| editor1-first=Milton| editor1-last= Abramowitz |
||
| editor2-first= Irene A. | editor2-last=Stegun | title= Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables| place=New York | publisher=Dover| year=1965 | ISBN=0-486-61272-4|contribution=Chapter 22}}</ref> |
| editor2-first= Irene A. | editor2-last=Stegun | title= Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables| place=New York | publisher=Dover| year=1965 | ISBN=0-486-61272-4|contribution=Chapter 22}}</ref> |
||
:<math>L_{i}^{j}(x)= ( - 1)^{j}\ \frac{d^{j}}{dx^{j}}L_{i+j}(x)</math> |
:<math>L_{i}^{j}(x)= ( - 1)^{j}\ \frac{d^{j}}{dx^{j}}L_{i+j}(x)</math>; |
||
其中,<math>L_{i+j}(x)</math> |
其中,<math>L_{i+j}(x)</math>是[[拉盖尔多项式]],可用羅德里格公式表示為 |
||
:<math>L_{i}(x)=\frac{e^x}{i!}\ \frac{d^{i}}{dx^{i}}(x^i e^{ - x})</math> |
:<math>L_{i}(x)=\frac{e^x}{i!}\ \frac{d^{i}}{dx^{i}}(x^i e^{ - x})</math>。 |
||
為了滿足 |
為了滿足<math>R_{nl}(r)</math>的邊界條件,<math>n</math>必須是正值整數,能量也離散為[[能級]]<math> E_{n} = - \left(\frac{Z^2\mu e^4}{32 \pi^2\epsilon_0^2\hbar^2}\right) \frac{1}{n^2}=\frac{ - 13.6Z^2}{n^2}\ (eV) </math>。隨著量子數的不同,函數<math>R_{nl}(r)</math>與<math>Y_{lm}</math>都會有對應的改變。為了要結束广义拉盖尔多项式的[[遞迴關係]],必須要求<math>l < n</math>。 |
||
知道徑向函數 |
知道徑向函數<math>R_{nl}(r)</math>與球諧函數<math>Y_{lm}</math>的形式,就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數,也就是薛丁格方程式的整個解答: |
||
:<math>\psi_{nlm} = R_{nl}(r)\, Y_{lm}(\theta,\phi)</math> |
:<math>\psi_{nlm} = R_{nl}(r)\, Y_{lm}(\theta,\phi)</math>。 |
||
====導引==== |
====導引==== |
||
為了要簡化薛丁格方程式,設定能量與長度的[[原子單位]] ({{lang|en|atomic unit}}) |
為了要簡化薛丁格方程式,設定能量與長度的[[原子單位]] ({{lang|en|atomic unit}}) |
||
:<math> E_\textrm{h} = m_\textrm{e} \left( \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar}\right)^2 </math> |
:<math> E_\textrm{h} = m_\textrm{e} \left( \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar}\right)^2 </math>, |
||
:<math>a_{0} = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{m_\textrm{e} e^2}}</math> |
:<math>a_{0} = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{m_\textrm{e} e^2}}</math>。 |
||
將變數 |
將變數<math> y = Zr/a_0</math>與<math>W = E/(Z^2 E_\textrm{h})</math>代入徑向薛丁格方程式(2): |
||
:<math> \left[ -\frac{1}{2} \frac{d^2}{dy^2} + \frac{1}{2} \frac{l(l+1)}{y^2} - \frac{1}{y}\right] u_l = W u_l</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(8)</span> |
:<math> \left[ -\frac{1}{2} \frac{d^2}{dy^2} + \frac{1}{2} \frac{l(l+1)}{y^2} - \frac{1}{y}\right] u_l = W u_l</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(8)</span> |
||
這方程式有兩類解答: |
這方程式有兩類解答: |
||
#<math>W<0</math> |
#<math>W<0</math>:量子態是[[束縛態]],其本徵函數是[[平方可積函數]]。量子化的<math>W</math>造成了離散的能量譜。 |
||
#<math>W\ge 0</math> |
#<math>W\ge 0</math>:量子態是[[散射態]],其本徵函數不是平方可積函數。 |
||
這條目只講述第 |
這條目只講述第(1)類解答。設定正實數<math>\alpha \equiv 2\sqrt{ - 2W}</math>與<math>x \equiv \alpha y </math>。代入方程式(8): |
||
:<math>\left[ \frac{d^2}{dx^2} - \frac{l(l+1)}{x^2}+\frac{2}{\alpha x} - \frac{1}{4} \right] u_l = 0</math> |
:<math>\left[ \frac{d^2}{dx^2} - \frac{l(l+1)}{x^2}+\frac{2}{\alpha x} - \frac{1}{4} \right] u_l = 0</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(9)</span> |
||
當 |
當<math>x</math>接近0時,方程式(9)最顯著的項目是 |
||
:<math>\left[ \frac{d^2}{dx^2} - \frac{l(l+1)}{x^2}\right] u_l = 0</math> |
:<math>\left[ \frac{d^2}{dx^2} - \frac{l(l+1)}{x^2}\right] u_l = 0</math>。 |
||
所以, |
所以,<math>u_l(x)</math>與<math>x^{l+1}</math>成正比。 |
||
又當 |
又當<math>x</math>無窮遠時,方程式(9)最顯著的項目是 |
||
:<math>\left[ \frac{d^2}{dx^2} - \frac{1}{4} \right] u_l = 0</math> |
:<math>\left[ \frac{d^2}{dx^2} - \frac{1}{4} \right] u_l = 0</math>。 |
||
因此,<math>u_l(x)</math> |
因此,<math>u_l(x)</math>與<math>e^{ - x/2}</math>成正比。 |
||
為了除去 |
為了除去<math>u_l(x)</math>在原點與無窮遠的極限性態,達到孤立解答函數的形式的目的,必須使用<math>u_l(x)</math>的替換方程式: |
||
:<math>u_l(x) = x^{l+1} e^{ - x/2}f_l(x)</math> |
:<math>u_l(x) = x^{l+1} e^{ - x/2}f_l(x)</math>。 |
||
經過一番運算,得到 |
經過一番運算,得到<math>f_l(x)</math>的方程式: |
||
:<math>\left[ x\frac{d^2}{dx^2} + (2l+2 - x) \frac{d}{dx} +(\nu - l - 1)\right] f_l(x) = 0</math> |
:<math>\left[ x\frac{d^2}{dx^2} + (2l+2 - x) \frac{d}{dx} +(\nu - l - 1)\right] f_l(x) = 0</math>; |
||
其中, |
其中,<math>\nu = ( - 2W)^{ - \frac{1}{2}}</math>。 |
||
假若,<math>\nu - l - 1</math> |
假若,<math>\nu - l - 1</math>是個非負整數<math>k</math> ,則這方程式的解答是广义拉盖尔多项式 |
||
:<math> L^{(2l+1)}_{k}(x),\qquad k=0,1,\ldots</math> |
:<math> L^{(2l+1)}_{k}(x),\qquad k=0,1,\ldots</math>。 |
||
採用 |
採用Abramowitz and Stegun的慣例<ref name="Abramowitz" />。無因次的能量是 |
||
:<math> W = -\frac{1}{2n^2}</math> |
:<math> W = -\frac{1}{2n^2}</math>; |
||
其中,主量子數 |
其中,主量子數<math> n \equiv k+l+1</math>滿足<math> n \ge l+1</math>,或<math> l \le n-1</math>。 |
||
由於 |
由於<math>\alpha = 2/n</math>,徑向波函數是 |
||
:<math>R_{nl}(r) = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na_0}\right)^3 \cdot \frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}} \; e^{ - {\textstyle \frac{Zr}{na_0}}}\left(\frac{2Zr}{na_0}\right)^{l}\; L^{2l+1}_{n - l - 1}\left(\frac{2Zr}{na_0}\right)</math>。 |
:<math>R_{nl}(r) = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na_0}\right)^3 \cdot \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3}} \; e^{ - {\textstyle \frac{Zr}{na_0}}}\left(\frac{2Zr}{na_0}\right)^{l}\; L^{2l+1}_{n - l - 1}\left(\frac{2Zr}{na_0}\right)</math>。 |
||
能量是 |
能量是 |
||
:<math> E = - \frac{Z^2}{2n^2}E_\textrm{h}= - \frac{Z^2}{2n^2}m_\textrm{e} \left( \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar}\right)^2,\qquad n=1,2,\ldots</math> |
:<math> E = - \frac{Z^2}{2n^2}E_\textrm{h}= - \frac{Z^2}{2n^2}m_\textrm{e} \left( \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar}\right)^2,\qquad n=1,2,\ldots</math>。 |
||
==參閱== |
==參閱== |
||
第310行: | 第309行: | ||
*[[有限深方形阱]] |
*[[有限深方形阱]] |
||
*[[有限位勢壘]] |
*[[有限位勢壘]] |
||
*[[Delta |
*[[Delta位勢阱]] |
||
*[[Delta |
*[[Delta位勢壘]] |
||
*[[連心力]] |
*[[連心力]] |
||
*[[量子穿隧效應]] |
|||
* [[盒中氣體]] |
|||
==參考文獻== |
==參考文獻== |
2019年5月17日 (五) 15:00的最新版本
球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙交互作用的基本位勢,像重力勢、電勢,都是球對稱位勢。這條目只講述,在量子力學裏,運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為,可以用薛丁格方程式表達為
- ;
其中,是普朗克常數,是粒子的質量,是粒子的波函數,是位勢,是徑向距離,是能量。
由於球對稱位勢只與徑向距離有關,與天頂角、方位角無關,為了便利分析,可以採用球坐標來表達這問題的薛丁格方程式。然後,使用分離變數法,可以將薛丁格方程式分為兩部分,徑向部分與角部分。
薛丁格方程式[编辑]
採用球坐標,將拉普拉斯算子展開:
- 。
滿足薛丁格方程式的本徵函數的形式為:
- ,
其中,,,,都是函數。與時常會合併為一個函數,稱為球諧函數,。這樣,本徵函數的形式變為:
- 。
角部分解答[编辑]
參數為天頂角、方位角的球諧函數,滿足角部分方程式
- ;
其中,非負整數是角動量的角量子數。(滿足)是角動量對於z-軸的(量子化的)投影。不同的與給予不同的球諧函數解答:
- ;
- ;
- 。
徑向部分解答[编辑]
將角部分解答代入薛丁格方程式,則可得到一個一維的二階微分方程式:
- 。(1)
設定函數。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算,可以得到
- 。(2)
徑向方程式變為
- ;(3)
其中,有效位勢。
這正是函數為,有效位勢為的薛丁格方程式。徑向距離的定義域是從到。新加入有效位勢的項目,稱為離心位勢。
為了要更進一步解析方程式(2),必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。
實例[编辑]
在這裏,有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點,那就是,它們的位勢都是球對稱的。因此,它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是:
- :原方程變為亥姆霍兹方程,使用球諧函數為正交歸一基,解析眞空狀況實例。這實例可以做為別的實例的基礎。
- 當時,;否則,:這實例比第一個實例複雜一點,可以描述三維的圓球形盒子中的粒子的量子行為。
- :研討三維均向性諧振子的實例。在量子力學裏,是少數幾個存在簡單的解析解的量子模型。
- :關於類氫原子的束縛態的實例,也有簡單的解析解。
真空狀況實例[编辑]
思考的狀況,設定,在設定無因次的變數
- 。
代入方程式(2),定義,就會得到貝塞爾方程式,一個二階常微分方程式:
- 。
貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函數;而是第一類球貝塞爾函數
(真空解的邊界條件要求原點的函數值有限,因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的係數必須為零):
- 。(4)
在眞空裏,一個粒子的薛丁格方程(即自由空間中的齊次亥姆霍兹方程)的解,以球坐標來表達,是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積:
- ;
其中,歸一常數,是非負整數,是整數,,是實數,。
這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。
波函數歸一化導引[编辑]
波函數的角部分已經歸一化,剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為
- 。
根據球貝塞爾函數的封閉方程式,
- ;
其中,,为克罗内克δ。
所以,。取平方根,歸一常數。
球對稱的三維無限深方形位勢阱[编辑]
思考一個球對稱的無限深方形阱,阱內位勢為0,阱外位勢為無限大。用方程式表達:
- 。
其中,是球對稱阱的半徑。
立刻,可以察覺,阱外的波函數是0;而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同,波函數是球貝塞爾函數。為了滿足邊界條件,波函數必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函數,球貝塞爾函數在徑向坐標之處必須等於0:
- 。
設定為階球貝塞爾函數的第個0點,則。
那麼,離散的能級為
- 。
薛丁格方程式的整個解答是
- ;
其中,歸一常數。
波函數歸一化導引[编辑]
波函數的角部分已經歸一化,剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為
- ;
將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式(4)代入積分:
- 。
設定變數,代入積分:
- 。
- ;
其中,,为克罗内克δ,表示的第個0點。
注意到的第個0點也是的第個0點。所以,
- 。
取平方根,歸一常數。
三維均向諧振子[编辑]
三維均向諧振子的位勢為
- ;
其中,是角頻率。
用階梯算符的方法,可以證明N維諧振子的能量是
- 。
所以,三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是
- 。(5)
設定常數,
- 。
回想,則徑向薛丁格方程式有一個歸一化的解答:
- ;
其中,函數是广义拉盖尔多项式,是歸一化常數:
- 。
本徵能級的本徵函數,乘以球諧函數,就是薛丁格方程式的整個解答:
- ;
其中。假若是偶數,設定;否則,設定。
導引[编辑]
在這導引裏,徑向方程式會被轉換為广义拉盖尔微分方程式。這方程式的解是广义拉盖尔多项式。再將广义拉盖尔多项式歸一化以後,就是所要的答案。
首先,將徑向坐標無因次化,設定變數;其中,。則方程式(5)變為
- ;(6)
其中,是新的函數。
當接近0時,方程式(6)最顯著的項目是
- 。
所以,與成正比。
又當無窮遠時,方程式(6)最顯著的項目是
- 。
因此,與成正比。
為了除去在原點與無窮遠的極限性態,達到孤立解答函數的形式的目的,必須使用的替換方程式:
- 。
經過一番運算,這個替換將微分方程式(6)轉換為
- 。(7)
轉換為广义拉盖尔方程式[编辑]
設定變數,則微分算子為
- ,
- 。
代入方程式(7),就可得到广义拉盖尔方程式:
- ;
其中,函數。
假若,是一個非負整數,則广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式:
- 。
因為是非負整數,要求
- 。
- 與同時為奇數或同時為偶數。這證明了前面所述必須遵守的條件。
波函數歸一化[编辑]
回憶到,徑向函數可以表達為
- ;
其中,是歸一常數。
的歸一條件是
- 。
設定。將與代入積分方程式:
- 。
應用广义拉盖尔多项式的正交歸一性,這方程式簡化為
- 。
因此,歸一常數可以表達為
- 。
應用伽瑪函數的數學特性,同時注意與的奇偶性相同,可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函數變為
- 。
在這裏用到了雙階乘 (double factorial)的定義。
所以,歸一常數等於
- 。
類氫原子[编辑]
類氫原子只含有一個原子核與一個電子,是個簡單的二體系統。兩個物體之間,互相作用的位勢遵守庫侖定律:
- ;
其中,是真空電容率,是原子序,是單位電荷量,是電子離原子核的徑向距離。
將位勢代入方程式(1),
- 。
這方程式的解答是
- ;
其中,。近似於波耳半徑。假若,原子核的質量是無限大的,則,並且,約化質量等於電子的質量,。是广义拉盖尔多项式,定義為[1]
- ;
其中,是拉盖尔多项式,可用羅德里格公式表示為
- 。
為了滿足的邊界條件,必須是正值整數,能量也離散為能級。隨著量子數的不同,函數與都會有對應的改變。為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係,必須要求。
知道徑向函數與球諧函數的形式,就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數,也就是薛丁格方程式的整個解答:
- 。
導引[编辑]
為了要簡化薛丁格方程式,設定能量與長度的原子單位 (atomic unit)
- ,
- 。
將變數與代入徑向薛丁格方程式(2):
- 。(8)
這方程式有兩類解答:
這條目只講述第(1)類解答。設定正實數與。代入方程式(8):
- 。(9)
當接近0時,方程式(9)最顯著的項目是
- 。
所以,與成正比。
又當無窮遠時,方程式(9)最顯著的項目是
- 。
因此,與成正比。
為了除去在原點與無窮遠的極限性態,達到孤立解答函數的形式的目的,必須使用的替換方程式:
- 。
經過一番運算,得到的方程式:
- ;
其中,。
假若,是個非負整數 ,則這方程式的解答是广义拉盖尔多项式
- 。
採用Abramowitz and Stegun的慣例[1]。無因次的能量是
- ;
其中,主量子數滿足,或。
由於,徑向波函數是
- 。
能量是
- 。
參閱[编辑]
參考文獻[编辑]
- ^ 1.0 1.1 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (编), Chapter 22, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, 1965, ISBN 0-486-61272-4
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.