泰勒級數

泰勒級數（又叫泰勒展開式，英文係Taylor Series）係將光滑函數展開為多項式嘅方法。其中一個好處係，容易做微積分。

定義

$f(x)$ 喺參考點 x=a 嘅泰勒展開式：

$f(x)={\sum _{n=0}^{\infty }}{f^{(n)}(a) \over n!}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{f''(a) \over 2!}(x-a)^{2}+{f^{(3)}(a) \over 3!}(x-a)^{3}+...$

當 a=0 嗰陣，又叫麥克勞林級數。

例子

• $e^{x}={\sum _{n=0}^{\infty }}{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+...$
• $cos(x)={\sum _{n=0}^{\infty }}(-1)^{n}{x^{2n} \over (2n)!}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+...$
• $sin(x)={\sum _{n=0}^{\infty }}(-1)^{n}{x^{2n+1} \over (2n+1)!}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+...$