Teiloro eilutė

Teiloro polinomo laipsniui didėjant, jis tampa artimesnis aproksimuojamai funkcijai. Ši iliustracija parodo $\sin x$ ir Teiloro aproksimacijos grafiką. Teiloro polinomo laipsniai atitinkamai 1, 3, 5, 7, 9, 11 ir 13.

Teiloro eilutė – 1712 m. B. Teiloro aprašyta formulė, pagal kurią polinomu galima aproksimuoti bet kurią tolydžią, realaus ar kompleksinio skaičiaus a aplinkoje be galo diferencijuojamą funkciją.

Formulė:

$f(x)\approx \sum _{n=0}^{N}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{N}$, kai x pakankamai artimas a.

Čia n! yra n faktorialas, o $f^{(n)}(a)$ žymi n - tąją funkcijos f išvestinę taške a.

Kai $a=0$, eilutė kartais vadinama Makloreno eilute (pagal škotų matematiką Koliną Makloreną).

Bendruoju atveju, Teiloro eilutės nebūtinai konverguoja į funkcijos reikšmę tame taške.

Eksponentė:

$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{x^{4} \over 4!}+\cdots +{x^{n} \over n!}{\text{ su visais }}x\!$.

Pavyzdžiui: $e^{3}=2,718281828^{3}=20,08553692,$

$\mathrm {e} ^{3}=\sum _{n=0}^{8}{\frac {3^{n}}{n!}}=1+3+{\frac {3^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {3^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+{3^{4} \over 4\cdot 3\cdot 2}+{3^{5} \over 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}+{3^{6} \over 6!}+{3^{7} \over 7!}+{3^{8} \over 8!}=$

$=1+3+4,5+4,5+3,375+2,025+1,0125+0,433928571+0,162723214=20,00915179.$

Natūrinis logaritmas:

$\ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-({x^{1} \over 1}+{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 3}+{x^{4} \over 4}+...+{x^{n} \over n}){\text{ su }}-1\leq x<1$

Pavyzdžiui: $\ln(1-0,8)=-1.6094379124341;$

$\ln(1-0,8)=-0,8-{0,8^{2} \over 2}-{0,8^{3} \over 3}-{0,8^{4} \over 4}-{0,8^{5} \over 5}-{0,8^{6} \over 6}-{0,8^{7} \over 7}=$

$=-0.8-0.32-0.170(6)-0.1024-0.065536-0.043690(6)-0.029959314285714=-1.532252647619.$

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 3}-{x^{4} \over 4}+{x^{5} \over 5}...{\text{ su }}-1<x\leq 1$

Pavyzdžiui: $\ln(1+1)=0,69314718;$

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=1-{1^{2} \over 2!}+{1^{3} \over 3!}-{1^{4} \over 4!}+{1^{5} \over 5!}-{1 \over 6!}+{1 \over 7!}-{1 \over 8!}+{1 \over 9!}=$

$=1-0,5+0,16(6)-0,0416(6)+0,0083(3)-0,00138(8)+0,000198412-0,000024801+0,000002755=0,632120811.$

Teisingai taip (nors atsakymai teisingu ir neteisingu atveju beveik tiek pat skiriasi nuo ln(2)):

$\ln(1+1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=1-{1^{2} \over 2}+{1^{3} \over 3}-{1^{4} \over 4}+{1^{5} \over 5}-{1 \over 6}+{1 \over 7}-{1 \over 8}+{1 \over 9}=$

=0.74563492063492.

Ilgesnė eilutė duoda tokį atsakymą:

$\ln(1+1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=1-{1^{2} \over 2}+{1^{3} \over 3}-{1^{4} \over 4}+{1^{5} \over 5}-{1 \over 6}+{1 \over 7}-{1 \over 8}+{1 \over 9}-{1 \over 10}+$

$+{1 \over 11}-{1 \over 12}+{1 \over 13}-{1 \over 14}+{1 \over 15}-{1 \over 16}+{1 \over 17}-{1 \over 18}+{1 \over 19}-{1 \over 20}=$

=0.64563492063492+0.0231364825405=0.6687714031754273.

Kvadratinė šaknis:

${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!$

Trigonometrinės funkcijos (x čia reiškiamas radianais):

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad =x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ su visais }}x\!$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad =1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ su visais }}x\!$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ su }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

kur $B_{n}$ yra n - tasis Bernulio skaičius

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos:

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ su }}|x|<1\!$

$\arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{2\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 3x^{5}}{2\cdot 4\cdot 5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5x^{7}}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}+...+{\frac {1\cdot 3\cdot 5...(2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6...(2n)(2n+1)}}+...,\;\;|x|<1$

$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-{\Big [}x+{\frac {x^{3}}{2\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 3x^{5}}{2\cdot 4\cdot 5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5x^{7}}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}+...+{\frac {1\cdot 3\cdot 5...(2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6...(2n)(2n+1)}}+...{\Big ]},\;\;|x|<1$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ su }}|x|\leq 1\!$

$\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+...+(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\pm ...,\;\;|x|<1$

$\arctan x=\pm {\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{3x^{3}}}-{\frac {1}{5x^{5}}}+{\frac {1}{7x^{7}}}-...+(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n+1)x^{2n+1}}}\pm ...*,\;\;|x|>1$

* Pirmas narys ${\frac {\pi }{2}}$ imamas su ženklu "+", kai x>1 ir su ženklu "-" kai $x<-1.$

$\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-{\Big [}x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+...+(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\pm ...{\Big ]},\;\;|x|<1$