數
| 數學嘅數 |
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圓周率 π = 3.141592653… |
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喺數學入面，數嘅概念喺過去幾百年不斷擴展，包括咗零、負數、有理數好似二分之一、實數好似根號二同埋圓周率π，仲有複數，佢係將實數擴展到包括負一嘅平方根（同埋佢同實數加減嘅組合）。用數字計算就係用算術運算，最常見嘅就係加、減、乘、除同埋冧把。呢啲嘢嘅研究或者應用叫做算術，呢個詞有時都可以指數論，即係研究數字嘅特性。
除咗實際用途，數字喺全世界都有文化意義。例如，喺西方社會，十三呢個數字通常被認為係唔吉利嘅，而「一百萬」可能意味住「好多」，而唔係準確嘅數量。雖然而家被認為係偽科學，但相信數字有神秘意義嘅數字學喺古代同中世紀嘅思想中都好流行。數字學對希臘數學嘅發展有好大影響，刺激咗好多數論問題嘅研究，呢啲問題到而家仲係好有趣。
喺十九世紀，數學家開始發展好多唔同嘅抽象概念，呢啲概念都有某啲同數字相似嘅特性，可以話係擴展咗數字嘅概念。最早嘅其中一種就係超複數，佢係由各種複數系統嘅擴展或者修改組成。喺現代數學中，數系被認為係更一般代數結構（好似環同埋域）嘅重要特例，而「數」呢個詞嘅應用就係一種約定俗成，冇乜根本嘅重要性。
數嘅類別
編輯自然數
編輯自然數係最早出現嘅數，亦都係最常用嘅數，概念嚟自數物件（一個、兩個、三個、...）。喺數論入面自然數通常指正整數（唔包 0），而其他領域入面就通常都係指非負整數（包 0）。數學上會用 表示所有自然數嘅集合。
整數
編輯整數嘅概念嚟自對自然數嘅擴充，包括正整數、0、負整數，負整數係正整數嘅對立，會喺數字前面加個負號（-）嚟表示，例如負五會寫做「-5」，表示「5」嘅相反數。若果一個正整數係用嚟表示距離一個點 0 右邊幾多幾多距離，咁一個負整數就表示距離呢個定點 0 左邊幾多嘅距離。同樣，若果一個正整數表示一個銀行存款，咁負整數就表示一個銀行提款。數學上會用 表示所有整數嘅集合。以前嘅人唔係好接受到0同負數，甚至被某些宗教禁用，但因為計數方便，好多數學家會偷偷哋用。
有理數
編輯有理數嚟自對整數用除法去擴充，係為咗可以表示埋啲唔完整嘅數。有理數指可以被表示成整數分子( )同非零整數分母( )嘅分數嘅數，會寫做 ，表示 1 被分做相同嘅 份，再攞 份嘅量。兩個唔同分數可以表示相同嘅有理數，例如： 。好似整數咁，分數可以係正、零或者係負。所有分數所組成嘅集合包含整數，因為每一個整數都可以寫做分母為 1 嘅分數： 。數學上會用 表示所有有理數嘅集合，字母Q係嚟自quotient嘅第一個字母。以前嘅人以為有理數就係所有嘅數，但後嚟發現有理數係唔連續嘅，唔能夠包含所有實數。（史稱第一次數學危機）
無理數
編輯當數學家發現淨係用整數同分數冇辦法表達曬所有數（實數），就將實數分為已知嘅有理數（由整數同分數組成），其他一律叫做無理數。
實數
編輯概念嚟自被量度嘅事物唔係一件一件，而係可以有細微變化，好似身高，距離，重量等，假想成填滿一條直線上連續嘅數，就變成咗一個數學概念，佢同物理冇關，唔會考慮粒子係唔係連續。
複數
編輯數學家發現實數以外仲有其他數字，例如方程 ， 唔係實數，而係後嚟所講嘅虛數。實數同虛數共同組成複數，係從填滿一條直線上嘅實數，擴充到填滿整個二維平面嘅數。複數喺代數上係完整嘅，意味住唔需要更多嘅數。
代數數
編輯複數入面比較好理解嘅一類數，係可以用簡單嘅多項式嘅根去表達嘅數。有啲無理數係代數數。
超越數
編輯無理數難理解，而有一小部分嘅無理數係代數數，可以用多項式嘅方法去研究。
而剩返落嚟嘅實數就叫做超越數，係實數當中真正最難理解嘅數，亦都係佔最多（基乎所有）嘅數。
其他
編輯數字系統嘅結構
編輯- 代數結構，通常係一個交換環或者數學體（如果唔係交換嘅就係一個體上代數，而自然數就得個毛，得個交換幺半群）。
- 順序結構，通常係一個有序集，自然數、整數、有理數同實數呢啲就係全序集，不過複數同超複數就咁咁地，得個偏序集。實數仲要威啲，係個良序集同有稠密序。[1]
- 拓撲結構，啲數得曬嘅數字集合通常係唔連通㗎，要用離散拓撲，但係唔數得曬嘅集合就要諗個啱數學分析用嘅拓撲。
好多數字集合仲有個勁嘢，就係可以整到哈斯圖、歐拉圖同文氏圖，仲可以將呢啲圖夾埋做個似四邊形嘅歐拉-文氏圖，入面仲可以塞埋條哈斯圖（就係條直線咋）。講真，由最簡單嘅自然數到二十世紀班數學佬用模型論整出嚟嘅實數同複數嘅超越擴張，呢啲數字集合由頭到尾都係由簡單嘢慢慢整到複雜嘢。[2]
特別嘅自然數
編輯研究某啲數字特性嘅過程產生咗大量嘅數字類型，大多數冇特定嘅數學意義。佢哋可以歸類為數學遊戲。以下係一啲例子：
- 完美數: 等於佢嘅因數之和（包括1）嘅數。例如：6 = 1 + 2 + 3。
- 謝爾頓數: 數字73，係第21個質數，7 × 3 = 21；而將佢嘅數字倒轉就係37，係第12個質數。
- 自戀數: n位數嘅數字，等於佢嘅每個數字嘅n次方之和。例如：153 = 1³ + 5³ + 3³。
- 反質數: 倒轉數字之後仍然係質數嘅質數。例如：1597同7951都係質數。
- 吸血鬼數: 係由佢嘅數字組成嘅兩個數相乘得到嘅數。例如：2187 = 27 × 81。
- 倉鼠數: 佢嘅算術結構係 N = (a×b)²-1，其中a同b都係質數，佢嘅因數之和超過N，而佢嘅因數數量大過a×b/2；例如：1224 = (5×7)²-1
- 畢達哥拉斯數: 畢達哥拉斯三元組係滿足以下條件嘅三個數：其中一個數嘅平方加上另一個數嘅平方等於第三個數嘅平方，例如：(3, 4, 5)，因為 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
一旦明白咗數字嘅本質同分類問題，就會出現另一個更實際但影響所有數字運算嘅問題：點樣寫數字。而依家全世界通用嘅系統就係位值記數法，多得零嘅發明，以一個固定嘅進位制為基礎。
更正式啲嚟講，喺《算術基礎》一書入面，哥特洛布·弗雷格 (1848-1925) 對「數」做咗一個定義，呢個定義俾好多數學家（包括伯特蘭·羅素 [1872-1970]，《數學原理》嘅共同創作者）作為參考：
要留意嘅係，弗雷格同其他數學家一樣，冇將數字定義為數量嘅表達，因為數學符號唔一定要指涉可數性，而「數量」呢個概念就會指涉可數嘅嘢。相反，數字用嚟定義，例如，開區間 (0, 1) 入面元素嘅基數，呢個區間包含咗無數嘅元素（連續統）。
佩亞諾喺建立佢嘅五個關於自然數嘅命題之前，明確假設大家已經知道「零」、「後繼」同「數」呢啲詞或概念嘅定義（可能因為佢覺得太明顯）。佢就咁樣提出：
- 0係一個自然數
- 每個數嘅後繼都係一個數
- 唔同嘅數冇相同嘅後繼
- 0唔係任何數嘅後繼
- 仲有歸納性質
不過，如果有人將「零」定義為數字100，將「數」定義為「大過100嘅數」，咁之前講嘅五個命題就會適用，但唔係佩亞諾原本想表達嘅意思，而係佢嘅形式化。
因此，數嘅定義仲未完全形式化，但係大多數人都同意採用弗雷格提出嘅定義。
歷史
編輯整數嘅歷史
編輯最早嘅數字
編輯有人推測最早用數字可以追溯到超過3萬年前:喺骨頭同其他物件上面發現咗刻痕,通常認為係用嚟計數嘅記號。有人建議呢啲記號可能同計時有關,好似計日子咁,或者係記錄數量。
刻痕系統冇位值嘅概念(好似而家嘅十進制咁);呢個限制咗佢表示大數字嘅能力。通常認為呢個係最早嘅抽象系統,可以算係一個數字系統。
最早知道有位值嘅系統係美索不達米亞嘅60進制系統(公元前3400年),而最早知道嘅10進制系統係喺埃及公元前3100年出現。[3]
零嘅歷史
編輯
用零做數字同用佢做數字系統嘅佔位符要分開嚟睇。好多古印度文獻用梵文 Shunya 嚟講「空」嘅概念;喺數學裏面,呢個字通常用嚟講數字零。
記錄顯示古希臘人對零係唔係數字好似唔係好肯定:佢哋問「『無嘢』點解可以係嘢?」,諗出咗有趣嘅哲學理論,喺中世紀仲有關於零同空嘅本質同存在嘅宗教爭論。芝諾嘅詭論好大程度上都係因為對零嘅理解唔清楚。(古希臘人連1係唔係數字都有疑問。)
墨西哥南部同中部嘅奧爾梅克人喺新大陸開始用零(一個貝殼形狀嘅符號),可能係喺公元前4世紀左右,但肯定喺公元40年之前。呢個零成為咗瑪雅數字同瑪雅曆法嘅重要部分,但冇影響到舊大陸嘅數字系統。
大約喺公元130年,托勒密受希帕克同巴比倫人影響,用咗一個符號嚟表示零(一個上面有長線嘅小圓圈),喺60進制系統入面用,唔係用希臘字母數字。因為佢單獨使用呢個符號,唔單止係佔位符,所以呢個希臘零係舊大陸第一次有記錄嘅真正零嘅使用。喺佢嘅《數學彙編》(《至大論》)嘅後期拜占庭手稿裏面,希臘零變成咗希臘字母Omicron(平時表示70)。
另一個真正嘅零喺公元525年嘅羅馬數字表裏面用過(第一次已知嘅使用係狄奧尼修斯·埃克西古斯),但係用字 nulla,意思係「無嘢」,唔係用符號。當除法餘數係零嘅時候,就用 nihil,都係「無嘢」嘅意思。呢啲中世紀嘅零之後俾所有中世紀計算家用過。大約喺公元725年,比德或者佢啲同事喺羅馬數字表裏面單獨用過佢嘅首字母N,呢個係真正嘅零符號。
有記錄顯示婆羅摩笈多(喺《梵天正確本論》入面)喺公元628年用過零。佢將零當做一個數字,仲討論過涉及零嘅運算,包括除法。到嗰陣時(7世紀),呢個概念已經好清楚,而且記錄顯示呢個概念之後傳到中國同伊斯蘭世界。
負數嘅歷史
編輯負數呢個抽象概念喺大概公元前100年到公元前50年之間就已經出現。中國嘅《九章算術》就有講到點樣計算幾何圖形嘅面積；佢哋用紅色嘅計數棒代表正係數，黑色嘅就代表負數。呢個係東方最早提到負數嘅記錄；而西方最早嘅記錄就喺
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嘅古希臘。亞歷山大嘅丟番圖喺佢嘅《算術》入面提到咗一條而家會寫成 嘅方程（答案係負數），佢話呢條方程嘅結果係荒謬嘅。
到咗600年代，負數喺印度已經成為表示債務嘅常用方法。丟番圖之前提到嘅嘢，印度數學家婆羅摩笈多喺佢嘅《婆羅摩笈多悉檀多》（628年）入面有更詳細嘅討論。佢用負數推導出今日仲喺用緊嘅二次方程求根公式嘅一般形式。但係到咗
，印度數學家波什迦羅二世雖然都搵到二次方程嘅負根，但係佢話負值「喺呢種情況下唔應該採用，因為唔合適；啲人唔接受負根」。
大部分歐洲數學家一直到
都唔接受負數嘅概念。雖然斐波那契喺處理財務問題時都接受負數解（可以解釋為債務），呢啲可以喺佢1202年嘅《算盤書》第13章搵到，之後喺《花》一書入面仲有講到虧損嘅情況。同一時期，中國人表示負數嘅方法係喺相應正數最右邊唔係零嘅數字上面劃一條斜線。歐洲著作入面第一次用負數係喺
由尼古拉·舒凱提出。佢用負數做指數，但係叫佢哋做「荒謬數」。
就算到咗咁近嘅
，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉都仲以為負數大過無窮大，而且當時仲有個慣例就係忽略方程得出嘅任何負數結果，因為覺得佢哋冇意義。勒內·笛卡兒對笛卡兒坐標系嘅負數解都係咁做。
有理數、無理數同實數嘅歷史
編輯有理數嘅歷史
編輯分數呢個概念好大可能喺史前時代已經存在。就連古埃及人都寫過數學文本，講解點樣將一般分數轉換成佢哋特別表示法嘅埃及分數。印度同古希臘嘅數學家都研究過有理數理論，作為數論研究嘅一部分。最出名嘅係歐幾里得嘅《幾何原本》，大約喺公元前300年寫成。印度文本入面最重要嘅係《司坦伽經》，都係講數論，作為數學研究嘅一部分。
十進制分數嘅概念同十進制位值記數法有密切關係；睇嚟兩者係一齊發展嘅。譬如，《經》嘅數學入面經常會計算π或者2嘅平方根嘅十進制分數近似值。同樣，巴比倫數學文本一直都大量使用六十進制分數。
無理數嘅歷史
編輯最早用無理數嘅記錄係喺《繩規經》入面，呢本書寫於公元前800年到公元前500年之間。第一個證明無理數存在嘅功勞通常歸功於畢達哥拉斯，更準確啲講係畢達哥拉斯學派嘅梅塔蓬圖斯嘅希帕索斯。佢證明咗2嘅平方根係無理數（好大可能係用幾何方法）。傳說講，希帕索斯喺嘗試將2嘅平方根表示為分數嘅時候發現咗無理數。但係畢達哥拉斯相信數字係絕對嘅，唔能夠接受無理數嘅存在。佢用邏輯證明唔到無理數唔存在，但係佢嘅信念又接受唔到無理數嘅存在，所以就判咗希帕索斯淹死。
到咗
，歐洲人終於接受咗正負整數同分數。
嘅時候，以而家嘅方式寫嘅十進制分數已經廣泛俾數學家使用。但係要等到
，無理數先至分為代數數同超越數，而且無理數理論嘅科學研究先至重新開始。自從歐幾里得之後，呢方面嘅研究就差唔多停頓咗。1872年，卡爾·魏爾斯特拉斯（由佢嘅學生科薩克發表）、愛德華·海涅（喺《克雷爾雜誌》第74期）、格奧爾格·康托（喺《年鑑》第5期）同理查德·戴德金嘅理論相繼發表。夏爾·梅雷喺1869年同海涅用咗同一個出發點，但係呢個理論通常都係講1872年嗰個。魏爾斯特拉斯嘅方法由薩爾瓦托雷·平謝萊（1880年）全面發展，而戴德金嘅方法因為佢之後嘅工作（1888年）同保羅·塔納里最近嘅確認（1894年）而變得更加重要。魏爾斯特拉斯、康托同海涅嘅理論都係基於無窮級數，而戴德金就以實數系統嘅分割（Schnitt）為基礎；佢將所有有理數分成兩組，每組都有某啲特徵。之後魏爾斯特拉斯、克羅內克（喺《克雷爾雜誌》第101期）同梅雷都對呢個課題有更多貢獻。
初期，因為約瑟夫·拉格朗日嘅著作而變得更加重要。其他值得一提嘅貢獻包括德魯肯米勒 (1837)、昆澤 (1857)、萊姆克 (1870) 同根特 (1872) 嘅研究。拉莫斯 (1855) 係第一個將呢個課題同行列式聯繫起來嘅人，之後海涅、莫比烏斯同根特喺「鏈分數行列式」理論方面都有貢獻。狄利克雷都為一般理論做咗貢獻，仲有好多應用方面嘅研究。
超越數同實數
編輯關於超越數嘅最早研究結果係蘭伯特 (1761) 證明咗π唔係有理數，仲有en喺n係有理數（除咗n = 0）嘅情況下都係無理數。（第一次提到e常數係喺納皮爾關於對數嘅著作 (1618) 入面。）勒讓德擴展咗呢個證明，證明咗π唔係任何有理數嘅平方根。搵五次方程同更高次方程嘅根導致咗一個重要嘅發展，阿貝爾-魯芬尼定理 (魯芬尼 1799, 阿貝爾 1824) 證明咗呢啲方程唔可以用算術根（只包含算術運算同根號嘅公式）嚟解。由呢度開始，就需要考慮更大嘅集合，就係代數數嘅集合（所有多項式方程嘅解）。伽羅瓦 (1832) 將多項式方程同群論聯繫起來，創立咗伽羅瓦理論。
就算係代數數嘅集合都唔夠，實數嘅完整集合仲包括咗超越數，呢啲數嘅存在首先由利烏維爾 (1844, 1851) 證實。埃爾米特喺1873年證明咗e係超越數，林德曼喺1882年證明咗π係超越數。最後，康托爾證明咗所有實數嘅集合係不可數無限，但係所有代數數嘅集合係可數無限，所以一定有不可數無限多嘅超越數。
無限
編輯最早已知嘅數學無限概念出現喺夜柔吠陀，佢喺某個地方講到「如果你由無限度減去一部分或者加上一部分，剩低嘅仲係無限」。無限係耆那教數學家喺大約公元前400年左右研究嘅熱門哲學話題。佢哋區分咗五種無限：一個方向嘅無限、兩個方向嘅無限、面積無限、到處都無限，同埋永恆無限。
喺西方，傳統嘅數學無限概念係由亞里士多德定義嘅，佢區分咗實際無限同潛在無限；普遍共識係只有後者先至有真正嘅價值。伽利略嘅《兩種新科學》討論咗無限集合之間嘅雙射概念。但係理論上嘅下一個重大突破係由康托爾做出嘅；喺1895年，佢出版咗一本關於佢嘅新集合論嘅書，介紹咗好多嘢，包括連續統假設。
射影幾何通過引入「理想無窮遠點」（每個空間方向都有一個）為無限提供咗一個現代觀點。對於每一組平行線，都假設佢哋喺相應嘅理想點相交。呢個概念同繪畫技術中嘅透視法嘅消失點概念有密切關係。
複數嘅歷史
編輯最早但係短暫嘅負數平方根嘅提及出現喺
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嘅亞歷山大港嘅希羅嘅著作中，當時佢研究緊一個不可能嘅棱錐體嘅體積。到咗
，因為意大利數學家尼科洛·方塔納·塔爾塔利亞同杰羅拉莫·卡爾達諾發現咗三次方程同四次方程嘅求根公式，呢啲提及變得更加常見。佢哋好快就發現，呢啲公式就算只係想搵實數解，有時都需要處理負數嘅平方根。
呢個情況特別令人不安，因為當時就連負數都仲未被認為有穩固嘅基礎。勒內·笛卡爾喺1637年創造咗「虛數」呢個詞嚟形容呢啲數量。另一個令人困惑嘅地方係呢個等式：
似乎同呢個代數恆等式矛盾：
- ，
呢個恆等式對於正實數a同b係有效嘅，而且喺複數計算中當a、b其中一個係正數另一個係負數嘅時候都會用到。錯誤使用呢個恆等式同埋相關嘅恆等式：
呢個困難導致佢哋採用咗特殊符號i代替√−1嚟避免呢個錯誤。
出現咗亞伯拉罕·德莫弗爾同萊昂哈德·歐拉嘅研究。德莫弗爾 (1730) 發現咗以佢命名嘅著名公式，德莫弗爾公式：
複數嘅存在直到卡斯帕·韋塞爾喺1799年描述咗佢嘅幾何解釋之後先至被完全接受；呢個解釋喺幾年之後被卡爾·弗里德里希·高斯重新發現同普及，結果複數理論得到咗顯著嘅發展。不過，複數嘅圖形表示嘅概念早喺1685年約翰·沃利斯嘅《論代數》中就已經出現過。
仲有喺1799年，高斯得到咗第一個普遍認可嘅代數基本定理證明，顯示每個複數多項式喺複數域中都有一組完整嘅解。複數嘅普遍接受好大程度上要歸功於奧古斯丁-路易·柯西同尼爾斯·亨利克·阿貝爾嘅工作，特別係後者，佢係第一個大膽使用複數並取得眾所周知嘅成功嘅人。
高斯研究咗形如a + bi嘅高斯整數，其中a同b係整數或有理數（而i係 嘅兩個根之一）。佢嘅學生費迪南德·艾森斯坦研究咗形如a + bω嘅類型，其中ω係 嘅一個複根。其他類似嘅複數類型（叫做分圓域）係由 嘅單位根導出嘅，k嘅值更大。呢個推廣係由恩斯特·庫默爾完成嘅，佢仲發明咗理想數，後來由菲利克斯·克萊因喺1893年表達為幾何恆等式。一般域理論係由埃瓦里斯特·伽羅瓦創立嘅，佢研究咗由任何多項式方程 嘅根生成嘅域。
到1850年，Victor Puiseux做咗個關鍵嘅突破，佢將極點同分支點分開，仲引入咗本質奇點嘅概念；呢個發現為後來嘅複延伸平面概念鋪平咗道路。
質數
編輯質數自古以來都係數學家研究嘅對象。歐幾里得喺佢嘅《幾何原本》入面就有一卷專門講質數理論；佢喺度證明咗質數係無限多嘅，仲有算術基本定理，又介紹咗歐幾里得算法去搵兩個數嘅最大公因數。
喺公元前240年，埃拉托色尼發明咗埃拉托色尼篩法，可以快速將質數同其他數分開。不過大部分關於質數理論嘅發展都係喺文藝復興之後先至喺歐洲出現。
1796年，阿德里安-馬里·勒讓德提出咗質數定理嘅猜想，描述質數嘅漸近分佈。其他關於質數分佈嘅重要結果包括歐拉證明咗質數倒數之和係發散嘅，同埋哥德巴赫猜想，話每個大過2嘅偶數都可以寫成兩個質數之和。仲有一個關於質數分佈嘅猜想就係黎曼假設，呢個係伯恩哈德·黎曼喺1859年提出嘅。質數定理最後喺1896年由雅克·阿達馬同夏爾·德拉瓦萊-普桑證明咗。