Функція маси імовірності

Графік функції маси ймовірності. Усі значення цієї функції повинні бути невід'ємними, й давати в сумі 1.

У теорії ймовірностей та статистиці фу́нкція ма́си імові́рності (англ. probability mass function, яку іноді називають функцією імовірності або функцією частоти, англ. probability function, frequency function) — це функція, яка дає ймовірність того, що дискретна випадкова величина дорівнює певному значенню. Іноді її також називають фу́нкцією густини́ дискре́тної імові́рності (англ. discrete probability density function). Функція маси ймовірності часто є основним засобом визначення дискретного розподілу ймовірності, й такі функції існують для скалярних та багатовимірних випадкових величин із дискретною областю визначення.

Функція маси ймовірності відрізняється від функції густини імовірності (ФГІ) тим, що остання пов'язана з неперервними випадковими величинами, а не з дискретними. Щоби вона давала ймовірність, ФГІ потрібно інтегрувати на проміжку.

Значення випадкової величини, яке має найбільшу масу ймовірності, називають модою.

Формальне визначення

Функція маси ймовірності — це розподіл імовірності дискретної випадкової величини, вона подає можливі значення та їхні відповідні ймовірності. Це функція $p:\mathbb {R} \to [0,1]$, визначена як

$p_{X}(x)=P(X=x)$

для $-\infty <x<\infty$, де $P$ — це міра ймовірності. $p_{X}(x)$ також може бути спрощено записано як $p(x)$.

Імовірності, пов'язані з усіма (гіпотетичними) значеннями, повинні бути невід'ємними, та давати в сумі 1:

$$\sum _{x}p_{X}(x)=1$$ і $$p_{X}(x)\geq 0.$$

Міркування про ймовірність як про масу допомагає уникати помилок, оскільки фізична маса зберігається, як і повна ймовірність для всіх гіпотетичних результатів $x$.

Формулювання в термінах теорії міри

Функцію маси ймовірності дискретної випадкової величини $X$ можливо розглядати як окремий випадок двох загальніших конструкцій теорії міри: розподілу $X$ та функції густини ймовірності $X$ щодо лічильної міри. Нижче наведено докладніше пояснення.

Припустімо, що $(A,{\mathcal {A}},P)$ — імовірнісний простір, а $(B,{\mathcal {B}})$ — вимірний простір, σ-алгебра в основі якого дискретна, зокрема містить одноелементні множини з $B$. У цьому випадку випадкова величина $X\colon A\to B$ дискретна, за умови що її образ зліченний. Образ міри $X_{*}(P)$, в цьому контексті званий розподілом $X$, є ймовірнісною мірою на $B$, обмеження якої на одноелементні множини породжує функцію маси ймовірності (як зазначено в попередньому розділі) $f_{X}\colon B\to \mathbb {R}$, оскільки $f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)$ для кожного $b\in B$.

Тепер припустімо, що $(B,{\mathcal {B}},\mu )$ — простір з мірою з лічильною мірою $\mu$. Функція густини ймовірності $f$ для $X$ щодо лічильної міри, якщо вона існує, є похідною Радона — Нікодима образу міри $X$ (щодо лічильної міри), тож $f=dX_{*}P/d\mu$, а $f$ є функцією з $B$ до невід'ємних дійсних чисел. Як наслідок, для будь-якого $b\in B$ маємо $$P(X=b)=P(X^{-1}(b))=X_{*}(P)(b)=\int _{b}fd\mu =f(b),$$

що показує, що $f$ є фактично функцією маси ймовірності.

Якщо існує природний порядок серед можливих значень $x$, то може бути зручно призначити їм числові значення (або n-вимірні кортежі у випадку дискретної багатовимірної випадкової величини), і розглянути також значення, що не належать образові $X$. Тобто, $f_{X}$ може бути визначено для всіх дійсних чисел, і $f_{X}(x)=0$ для всіх $x\notin X(S)$, як показано на графіку.

Образ $X$ має зліченну підмножину, на якій функція маси ймовірності $f_{X}(x)$ є одиницею. Як наслідок, функція маси ймовірності дорівнює нулеві для всіх, крім зліченної кількості значень $x$.

Розривність функцій маси ймовірності пов'язана з тим, що інтегральна функція розподілу дискретної випадкової величини також розривна. Якщо $X$ — дискретна випадкова величина, то $P(X=x)=1$ означає, що випадкова подія $(X=x)$ достовірна (відбувається у 100 % випадків); навпаки, $P(X=x)=0$ означає, що випадкова подія $(X=x)$ неможлива. Це твердження не істинне для неперервної випадкової величини $X$, для якої $P(X=x)=0$ для будь-якого можливого $x$. Процес перетворення неперервної випадкової величини на дискретну — це дискретування.

Приклади

Скінченні

Є три основні пов'язані розподіли: розподіл Бернуллі, біноміальний розподіл та геометричний розподіл.

• Розподіл Бернуллі, ber(p), використовують для моделювання експерименту, що має лише два можливі результати. Ці два результати часто кодують як 1 та 0. $$p_{X}(x)={\begin{cases}p,&{\text{якщо }}x=1\\1-p,&{\text{якщо }}x=0\end{cases}}$$ Приклад розподілу Бернуллі — підкидання монети. Нехай $S$ — це вибірко́вий простір всіх результатів одиничного підкидання симетричної монети, а $X$ — випадкова величина, визначена на $S$, яка призначує 0 категорії «реверс» і 1 категорії «аверс». Оскільки монета симетрична, функція маси ймовірності така: $$p_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x=0,\\{\frac {1}{2}},&x=1,\\0,&x\notin \{0,1\}.\end{cases}}$$
• Біноміальний розподіл моделює кількість успіхів у разі $n$ спроб із вертанням. Кожна спроба або експеримент незалежна й має два можливі результати. Пов'язана з ним функція маси ймовірності виглядає як ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$.

  

  Функція маси ймовірності для симетричної гральної кісточки. Усі числа на гральній кісточці мають рівну ймовірність випадання на верхній грані, коли кісточка припиняє котитися.

  Приклад біноміального розподілу — ймовірність отримати рівно одну 6 при підкиданні симетричної гральної кісточки тричі.
• Геометричний розподіл описує кількість спроб, необхідних для досягнення одного успіху. Його функція маси ймовірності виглядає як ${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$.
  Приклад — підкидання монети, поки не випаде перший аверс. $p$ позначує ймовірність результату «аверс», а $k$ — кількість необхідних підкидань монети.
  Інші розподіли, які можливо моделювати за допомогою функції маси ймовірності,  — категорійний розподіл (відомий також як узагальнений розподіл Бернуллі) та поліноміальний розподіл.
• Якщо дискретний розподіл має дві або більше категорій, з яких може відбутися одна, незалежно від того, чи мають ці категорії природний порядок, і коли є лише одна спроба (витягування), то це категоріальний розподіл.
• Приклад багатовимірного дискретного розподілу та його функції маси ймовірності — поліноміальний розподіл. У ньому декілька випадкових величин відповідають кількостям успіхів у кожній з категорій після заданої кількості спроб, і кожна ненульова функція маси ймовірності дає ймовірність певної комбінації кількостей успіхів у різних категоріях.

Нескінченні

Наведений нижче експоненційно спадний розподіл — приклад розподілу з нескінченним числом можливих результатів, усіма додатними цілими числами: $${\text{Pr}}(X=i)={\frac {1}{2^{i}}}\qquad {\text{для }}i=1,2,3,\dots$$ Незважаючи на нескінченну кількість можливих результатів, сумарна маса ймовірності становить 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ = 1, що відповідає вимозі одиничної повної ймовірності для її розподілу.

Багатовимірний випадок

Дві або більше дискретні випадкові величини мають спільну функцію маси ймовірності, яка задає ймовірність кожної можливої комбінації результатів для цих випадкових величин.

Література

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. (1993). Univariate Discrete Distributions (англ.) (вид. 2nd). Wiley. с. 36. ISBN 0-471-54897-9.