Сортування комірками

Сортування комірками

Клас	алгоритм сортування
Структура даних	масив
Найгірша швидкодія	$O(n^{2})$
Середня швидкодія	$O(n+k)$
Просторова складність у найгіршому випадку	$O(n\cdot k)$

Сортування комірками або коміркове сортування (англ. Bucket sort) — це стабільний алгоритм впорядкування, що доцільно використовувати, якщо вхідні дані розподілені рівномірно. В основі алгоритму лежить розподілення всіх елементів по скінченній кількості комірок. Кожна комірка впорядковується окремо іншим алгоритмом впорядкування або ж рекурсивно алгоритмом впорядкування комірками. Сортування комірками є узагальненням сортування підрахунком.

Алгоритм працює за час $O(N)$, оскільки використовує додаткову інформацію про елементи.

Псевдокод алгоритму

Тоді як сортування підрахунком припускає, що входові дані складються з цілих чисел із маленького діапазону, сортування комірками припускає, що входові дані утворені випадковим процесом, що розподіляє елементи рівномірно і незалежно в проміжку $[0,1)$. Процедура $\;Bucket\_Sort(A)$ виконує впорядкування масиву $A\;$

$\;Bucket\_Sort(A)$
1 $n\leftarrow length[A]$  
2 for $i\leftarrow 1$ to $\;n$
3         do Вставити елемент $\;A[i]$ в список $\;B[\lfloor nA[i]\rfloor ]$
4 for $i\leftarrow 0$ to $\;n-1$
5         do Впорядкувати список $\;B[i]$
6 Об'єднати списки $\;B[0],B[1],...,B[n-1]$

Аналіз складності алгоритму

Виконання всіх елементів алгоритму, крім рядка 5, очевидно вимагає $\;O(n)$ часу. Залишається підрахувати повний час, що знадобиться на n викликів алгоритму сортування у рядку 5. Будемо вважати, що використовується алгоритм сортування вставкою.

Час роботи сортування комірками буде: $T(n)=\Theta (n)+\sum _{i=0}^{n-1}O\left(n_{i}^{2}\right)$, де $n_{i}$ — кількість елементів масиву, що потрапили в i-у комірку.

Обчислимо математичне очікування: $M[T(n)]=M\left[\Theta (n)+\sum _{i=0}^{n-1}O\left(n_{i}^{2}\right)\right]=$

$=\Theta (n)+M\left[\sum _{i=0}^{n-1}O\left(n_{i}^{2}\right)\right]=\Theta (n)+\sum _{i=0}^{n-1}O\left(M\left[n_{i}^{2}\right]\right)$

Так як всі комірки рівноправні, то $M\left[n_{i}^{2}\right]=F(n),\forall i$

Справедливим є запис:

$n_{i}=\sum _{j=1}^{n}\chi _{ij},\quad \chi _{ij}={\begin{cases}1&,A[i]\in B[j]\\0\end{cases}}$

Тобто, $n_{i}$ представляється сумою незалежних однаково розподілених випадкових величин. Тоді:

$M\left[n_{i}^{2}\right]=M\left[\left(\sum _{j=1}^{n}\chi _{ij}\right)^{2}\right]=M\left[\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}\chi _{ij}\chi _{ik}\right]=M\left[\sum _{j=1}^{n}\chi _{ij}^{2}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{1\leq k\leq n,k\neq j}^{n}\chi _{ij}\chi _{ik}\right]=$

$=\sum _{j=1}^{n}M\left[\chi _{ij}^{2}\right]+\sum _{j=1}^{n}\sum _{1\leq k\leq n,k\neq j}^{n}M\left[\chi _{ij}\chi _{ik}\right]=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{n}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{1\leq k\leq n,k\neq j}^{n}M\left[\chi _{ij}\right]M\left[\chi _{ik}\right]=$

$=1+n(n-1){\frac {1}{n^{2}}}=1+{\frac {n-1}{n}}=2-{\frac {1}{n}}$

Підставивши результат у вираз для $T(n)$ маємо:

$M[T(n)]=\Theta (n)+\sum _{i=0}^{n-1}O\left(2-{\frac {1}{n}}\right)=\Theta (n)+O(n)=\Theta (n)$

Отже, очікуваний час роботи алгоритму лінійно залежить від розміру вхідного масиву.

Зауваження: середній час роботи буде лінійним навіть у випадку нерівномірного розподілу елементів масиву. Для лінійного часу необхідно лише, щоб сума квадратів кількостей елементів в кожній комірці лінійно залежала від загальної кількості елементів.