Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Півторалінійна форма — функція f(x, y) від двох векторів векторного простору V над полем
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
лінійною x при кожному фіксованому y і напівлінійною як функція y при кожному фіксованому x . Вимога напівлінійності по y означає, що виконані такі умови:[ 1]
f
(
x
,
y
1
+
y
2
)
=
f
(
x
,
y
1
)
+
f
(
x
,
y
2
)
∀
x
,
y
i
∈
V
,
{\displaystyle f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V,}
f
(
x
,
α
y
)
=
α
¯
f
(
x
,
y
)
∀
x
,
y
∈
V
,
α
∈
C
.
{\displaystyle f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .}
Півторалінійна форма f(x,y) називається ермітовою , якщо для неї виконується умова[ 1]
f
(
x
,
y
)
=
f
(
y
,
x
)
¯
∀
x
,
y
∈
V
.
{\displaystyle f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.}
При виборі довільного базиса
e
1
,
…
,
e
n
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}
V півторалінійна форма записується у виді[ 1]
f
(
x
,
y
)
=
∑
i
,
j
=
1
n
a
i
j
x
i
y
¯
j
,
a
i
j
=
f
(
e
i
,
e
j
)
,
{\displaystyle f(x,y)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}\,x_{i}{\overline {y}}_{j},\ \ \ a_{ij}=f(e_{i},e_{j}),}
де
x
=
x
1
e
1
+
⋯
+
x
n
e
n
{\displaystyle x=x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n}e_{n}}
y
=
y
1
e
1
+
⋯
+
y
n
e
n
{\displaystyle y=y_{1}e_{1}+\cdots +y_{n}e_{n}}
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
↑ а б в Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.
