Переставні матриці

Квадратні матриці $\ A,\;B$ з комплексними елементами називаються переставни́ми (комутуючими), якщо

$\ AB=BA.$

Властивості

• Якщо матриці $A,B$ є переставними, то в них існує спільний власний вектор:

$AB=BA\quad \Rightarrow \quad \exists \;v,\lambda _{1},\lambda _{2}:\;\;Av=\lambda _{1}v,\;Bv=\lambda _{2}v.$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних матриць. Доведення за допомогою слабкої теореми Гільберта про нулі.

• Якщо матриці $A,B$ є переставними та нормальними, то в них всі власні вектори є спільними:

$\exists \;U,\Lambda _{1},\Lambda _{2}:\quad A=U\Lambda _{1}U^{*},\quad B=U\Lambda _{2}U^{*},\quad U^{*}U=I.$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.

• Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці $A,B$ є нормальними та переставними, тоді матриці:

$\ AB,A+B,kA$ — теж будуть нормальними та переставними.

• Над алгебраїчно замкнутим полем переставні матриці $A,B$ є одночасно приводимими до трикутного вигляду:

$\exists \;P,L_{1},L_{2}:\quad A=P^{-1}L_{1}P,\quad B=P^{-1}L_{2}P,\quad \det(P)\neq 0.$

Приклад

• Одинична матриця є переставною зі всіма матрицями і тому має з кожною з них хоча б один спільний власний вектор.

Дивись також

• Теорія матриць
• Комутативність
• Комутатор (математика)

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)