Лемніската Бернуллі

Лемніската і її фокуси

Лемніската Бернуллі
Названо на честь	Якоб Бернуллі
Формула	$\rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi$ і $(x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Лемніската Бернуллі у Вікісховищі

Лемніската Бернуллі (грец. λημνίσκοζ — пов'язка) — плоска алгебрична крива, яку можна означити як геометричне місце точок $P$, для кожної з яких добуток відстаней до двох заданих точок $F_{1}$ та $F_{2}$ (фокусів) незмінна і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.

Тобто, для кожної точки $P$ лемніскати виконується рівність:

$PF_{1}\cdot PF_{2}=c^{2}$.

де $2c$ — відстань між фокусами $F_{1}F_{2}$.

Назва походить з античного Риму, де «лемніскатою» називали бантик, з допомогою якого прикріпляли вінок до голови переможця на спортивних іграх. Цю лемніскату називають в честь швейцарського математика Якоба Бернуллі, який поклав початок її вивченню в 1694 році.

Лемніската Бернуллі — алгебрична крива 4 порядку. Є окремим випадком овалів Кассіні та синусоїдальних спіралей.

Рівняння

Нехай фокуси лемніскати Бернуллі знаходяться на осі $Ox$ в точках $F_{1}(-c;0)$ і $F_{2}(c;0)$. Відстань між фокусами дорівнює $2c$, а точка $O$ — початок координат ділить відрізок між фокусами навпіл. Тоді наступні рівняння задають лемніскату Бернуллі:

• в прямокутних координатах в неявному виді:

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})$

Вивід  

Візьмемо довільну точку $M(x;y)$. Добуток відстаней від фокусів до точки $M$ є

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$,

і за означенням вона дорівнює $c^{2}$:

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=c^{2}$

Піднесемо в квадрат дві частини рівності:

$\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=c^{4}$

Розкриємо дужки в лівій частині:

$\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=c^{4}$

Розкриємо дужки і згорнемо новий квадрат суми

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}c^{2}+2y^{2}c^{2}=0$

Винесемо спільний множник і перенесемо:

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})$

Далі можна зробити заміну $a^{2}=2c^{2}$:

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$

Зробивши нескладні перетворення, можна отримати рівняння у явному вигляді:

$\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}$

Вивід  

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})$

Піднесемо в квадрат і розкриємо дужки:

$\textstyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=2c^{2}x^{2}-2c^{2}y^{2}$

Приведемо до вигляду

$\textstyle y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{2}x^{2}=0$

Це квадратне рівняння відносно $y^{2}$. Розв'язавши його, отримаємо

$\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {c^{4}+2x^{2}c^{2}}}$

Добувши корінь і відкинувши варіант з від'ємною другою змінною, отримаємо:

$\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}$

де додатній варіант визначає верхню половину лемніскати, від'ємний — нижню.

• в полярних координатах:

$\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi .$

Крива визначена при $\varphi \in \left[0,{\frac {\pi }{4}}\right]\cup \left[{\frac {3\pi }{4}},{\frac {5\pi }{4}}\right]\cup \left[{\frac {7\pi }{4}},2\pi \right]$ ;

або ж при $\varphi \in \left[-{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{4}}\right]\cup \left[{\frac {3\pi }{4}},{\frac {5\pi }{4}}\right]$

Вивід  

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})$

Використовуючи формули переходу до полярної системи координат $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ отримаємо:

${\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}=2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}$

Винесемо спільні множники і використаємо тригонометричну тотожність $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$:

$\textstyle \rho ^{4}=2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )$

Використаємо ще одну тотожність: $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$:

$\textstyle \rho ^{4}=2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi$

Поділимо на $\rho ^{2}$, вважаючи, що $\rho \neq 0$:

$\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi$

Як і в випадку прямокутної системи можна замінити $a^{2}=2c^{2}$:

$\textstyle \rho ^{2}=a^{2}\cos 2\varphi$

• Параметричне рівняння в прямокутній декартовій системі координат:

${\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\frac {p+p^{3}}{1+p^{4}}}\\y=c{\sqrt {2}}{\frac {p-p^{3}}{1+p^{4}}}\end{cases}}$, де $p^{2}=\operatorname {tg} {\Big (}{\frac {\pi }{4}}-\varphi {\Big )}$

Щоб задати лемніскату по двох довільних точках, можна не виводити рівняння заново, а визначити перетворення координат, при якому старий (даний) фокусний відрізок переходить в новий, і подіяти на представлені рівняння цим перетворенням.

Приклад  

Нехай, наприклад, $F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)$ — фокуси.

Існує прямокутна система координат (на рисунку — $\textstyle x''Oy''$), в якій рівняння лемніскати має вигляд

$\textstyle {\Big (}(x'')^{2}+(y'')^{2}{\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}(x'')^{2}-(y'')^{2}{\Big )}=0$

Необхідно визначити перетворення системи координат, що переводить $\textstyle xOy$ в $\textstyle x''Oy''$. Це перетворення здійснюється в два етапи: паралельне перенесення і поворот.

Середина відрізка $F_{1}F_{2}$ — $\textstyle F\left({\frac {1}{2}};0\right)$, значить паралельний перенос тільки на $\textstyle +{\frac {1}{2}}$ по осі $OX$:

${\begin{cases}x'=x-x_{0}\\y'=y-y_{0}\end{cases}}={\begin{cases}x'=x-{\frac {1}{2}}\\y'=y\end{cases}}$

Після переносу системи координат її потрібно повернути на деякий кут. Для визначення кута спочатку знайдемо відстань між фокусами:

$2c=|F_{1}F_{2}|={\sqrt {(2+1)^{2}+(-2-2)^{2}}}=5$

значить $c={\frac {5}{2}},\,2c^{2}={\frac {25}{2}}$.

Тепер із геометричних міркувань знайдемо синус і косинус кута нахилу $F_{1}F_{2}$ до осі $OX$:

$\sin \alpha ={\frac {-2-2}{5}}=-{\frac {4}{5}},\,\,(\alpha \approx -53^{\circ })$

$\cos \alpha ={\frac {2-(-1)}{5}}={\frac {3}{5}}$

Формули перетворення:

${\begin{cases}x''=x'\cos \alpha +y'\sin \alpha \\y''=-x'\sin \alpha +y'\cos \alpha \end{cases}}={\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}x'-{\frac {4}{5}}y'\\y''={\frac {4}{5}}x'+{\frac {3}{5}}y'\end{cases}}$

Поєднавши обидва перетворення, отримаємо скінченні формули переходу:

${\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y\\y''={\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y\end{cases}}$

Для того, щоб отримати рівняння в стандартній системі координат, підставимо ці співвідношення в вихідне рівняння кривої:

$\textstyle {\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}^{2}-2c^{2}{\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}-{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}=0$

Після перетворень:

$x^{4}+y^{4}+24xy-2xy^{2}+2x^{2}y^{2}-2x^{3}+5x^{2}-4x-3y^{2}-12y+{\frac {15}{16}}=0$

Це рівняння задає лемніскату з фокусами $F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)$ в стандартній прямокутній системі координат.

• Рівняння Чезаро для лемніскати Бернуллі має вигляд: ^{: стор.156 :стор.819}

$\ell =3\cdot \int {\frac {dR}{\sqrt {\left({\frac {3}{c}}\cdot R\right)^{4}-1}}}$

де
$\rho$ — радіус кривини лемніскати Бернуллі в певній точці;
$\ell$ — довжина дуги лемніскати від її початку до цієї точки.

Властивості та особливості форми

Лемніската, вписана в коло

• Для довільної точки $P$ лемніскати Бернуллі з фокусами $F_{1}$ та $F_{2}$ справедливе наступне твердження (альтернативне означення лемніскати):

${\rm {|PF_{1}-PF_{2}|=OP\,{\sqrt {2}}.}}$

де $O$ — середина відрізка $F_{1}F_{2}$.

Доведення  

${\begin{aligned}{\rm {(PF_{1}-PF_{2})^{2}}}&={\rm {PF_{1}^{2}+PF_{2}^{2}-2\,PF_{1}\cdot PF_{2}}}\\&={\rm {(OP^{2}+OF_{1}^{2}-2\,OP\cdot OF_{1}\cos \theta )+(OP^{2}+OF_{2}^{2}+2\,OP\cdot OF_{2}\cos \theta )-2\,PF_{1}\cdot PF_{2}}}\\&={\rm {2(OP^{2}+OF_{1}^{2}-PF_{1}\cdot PF_{2})}}\end{aligned}}$

Отже :

$PF_{1}\cdot PF_{2}=OF_{1}^{2}\Leftrightarrow (PF_{1}-PF_{2})^{2}=2\,OP^{2}$

• Лемніската — алгебрична крива четвертого порядку.
• Вона має дві осі симетрії: пряма, на якій лежить $F_{1}F_{2}$, і серединний перпендикуляр цього відрізка; для розглянутого випадку — вісь $Oy$.
• Точка, де лемніската перетинає саму себе, називається вузловою чи подвійною точкою.

Для розглянутого випадку подвійною точкою лемніскати є початок координат.

• Дотичні в подвійній точці лемніскати — прямі $y=\pm x$, складають з відрізком $F_{1}F_{2}$ кути $\textstyle \pm {\frac {\pi }{4}}$ і є взаємно перпендикулярними. ^{: стор.155}
• Кут $\mu$ між дотичною до лемніскати в її довільній точці радіус-вектором точки дотику дорівнює: ^{: стор.156}

$\mu =2\varphi +{\frac {\pi }{2}}$.

• Дотичні до лемніскати, які проведені на кінцях хорди, що проходить через її подвійну точку, паралельні між собою.
• Кут між перпендикуляром, проведеним до дотичної із початку координат, та полярною віссю втричі більший за полярний кут $\varphi$ точки дотику. Таким чином, лемніскату можна використовувати для трисекції кута. ^{: стор.156}

• Лемніската Бернуллі перетинає вісь $Ox$ в точках

$A(c\cdot {\sqrt {2}};0)$ та $B(-c\cdot {\sqrt {2}};0)$.

• Крива має 2 максимуми і 2 мінімуми. Їх координати:

  ${\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}c\\y=\pm {\frac {c}{2}}\end{cases}}$

• Відстань від максимуму до мінімуму, що знаходяться по одну сторону від серединного перпендикуляра (осі $Oy$ в даному випадку) дорівнює відстані від максимуму (чи від мінімуму) до подвійної точки.

• Інверсія лемніскати $\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi .$ з центром в подвійній точці, переводить леминіскату Бернуллі в синусоїдальну спіраль $\textstyle \rho ^{-2}=2c^{2}\cos 2\varphi .$, тобто в рівнобічну гіперболу. ^{: стор.157}
• Подерою лемніскати Бернуллі є cинусоїдальна спіраль

$\textstyle \rho ^{\frac {2}{3}}=({\sqrt {2}}c)^{\frac {2}{3}}\cos \left({\frac {2}{3}}\varphi \right)$

Лемніската в свою чергу є подерою рівнобічної гіперболи.

• Лемніската є геометричним місцем точок, що симетричні з центром рівнобічної гіперболи, по відношенню до її дотичних. ^{: стор.157}
• Кінематично лемніскату можна отримати як траекторію середини великої ланки шарнірного антипаралелограма, протилежна ланка якого нерухомо закріплена. ^{: стор.158}
• Відрізок бісектриси кута між фокальними радіусами-векторами точки лемніскати дорівнює відрізку від центру лемніскати до перетину її осі з цією бісектрисою. ^{: стор.158}
• Геометричне місце проєкцій центрів кривини лемніскати на відповідні радіуси-вектори є також лемніската, рівняння якої:

$\textstyle \rho ^{2}={\frac {4}{9}}c^{2}\cos 2\varphi .$

Метричні характеристики

Нехай лемніската Бернуллі задана рівнянням в полярній сисемі координат: $\rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi$. Тоді:

• Довжина дуги лемніскати між точками, що відповідають полярним кутам $0\leq \varphi \leq \varphi _{1}$:

$\ell =c\cdot \int _{0}^{\varphi _{1}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-2\sin ^{2}\varphi }}}$

Виконавши заміну $2\sin ^{2}\varphi =\sin ^{2}\theta$, приводимо інтеграл до виду:

$\ell ={\frac {c}{\sqrt {2}}}\cdot \int _{0}^{\theta _{1}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {c}{\sqrt {2}}}\cdot F\left({\frac {1}{\sqrt {2}}},\theta \right)$

де $F\left(k,\theta \right)$ — неповний еліптичний інтеграл 1-го роду.

Довжина всієї лемніскати Бернуллі:

$\ell =4\cdot {\frac {c}{\sqrt {2}}}\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta }}}=4\cdot {\frac {c}{\sqrt {2}}}\cdot K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$

де $K\left(k\right)$ — повний еліптичний інтеграл 1-го роду.

• Площа полярного сектора, що відповідає кутам $\varphi \in [0,\varphi ]$, при $\textstyle 0\leq \varphi \leq {\frac {\pi }{4}}$: ^{: стор.159}

  $S(\varphi )={\frac {c^{2}}{2}}\cdot \sin(2\varphi )$.

Перпендикуляр, проведений із фокуса лемніскати на радіус-вектор будь-якої її точки, ділить площу відповідного сектора навпіл. ^{: стор.159}

Площа кожної петлі: $2\cdot S\left({\frac {\pi }{4}}\right)=c^{2}$.

Тобто, площа, обмежена всією лемніскатою Бернуллі дорівнює площі квадрата зі стороною $c{\sqrt {2}}$. ^{: стор.159}

• • Радіус кривини лемніскати Бернуллі в довільній її точці можна обчислити за формулою:

$\textstyle R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}={\frac {\rho }{3\cos 2\varphi }}={\frac {N}{3}}$.

де $\rho$ — радіус-вектор цієї точки. $N$ — довжина полярної нормалі.

Тобто радіус кривини в довільній точці лемніскати втричі менший за довжину полярної нормалі в цій точці. ^{: стор.156}

Вивід  

Рівняння лемніскати в полярній системі:

$\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }$

Формули переходу до полярної системи координат:

${\begin{cases}x=\rho \cos {\varphi }\\y=\rho \sin {\varphi }\end{cases}}$

Виразимо $\textstyle \rho$:

${\begin{cases}\rho ={\frac {x}{\cos {\varphi }}}\\\rho ={\frac {y}{\sin {\varphi }}}\end{cases}}$

Підставимо в рівняння лемніскати і виразимо $x$ і $y$:

${\begin{cases}{\frac {x^{2}}{cos^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\\{\frac {y^{2}}{sin^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\end{cases}}={\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\\y=c{\sqrt {2}}\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\end{cases}}$

— це параметричне рівняння відносно $\varphi$. Проводячи деякі тригонометричні перетворення, можна отримати рівняння відносно $\textstyle p$ Формула радіуса кривизни кривої, заданої параметрично:

$R={\frac {{\Big (}(x')^{2}+(y')^{2}{\Big )}^{3/2}}{|x'y''-x''y'|}}$

Знайдемо похідні по $\varphi$:

$x'=c{\sqrt {2}}\left(-\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\cos {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=-c{\sqrt {2}}{\frac {\sin {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}$

$x''=-c{\sqrt {2}}{\frac {3\cos {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\sin {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\cos {\varphi }+\cos {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}$

$y'=c{\sqrt {2}}\left(-\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\sin {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=c{\sqrt {2}}{\frac {\cos {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}$

$y''=c{\sqrt {2}}{\frac {-3\sin {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\cos {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\sin {\varphi }+\sin {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}$

Підставимо в формулу радіуса:

$R=\ldots ={\frac {\left({\frac {2c^{2}}{cos{2\varphi }}}\right)^{3/2}}{\frac {6c^{2}}{\cos {2\varphi }}}}={\frac {c{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}$

Повернемося до рівняння лемніскати:

$\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }\,\,\Rightarrow \,\,{\sqrt {\cos {2\varphi }}}={\frac {\rho }{c{\sqrt {2}}}}$

Підставимо цей вираз в отриману формулу радіуса і отримаємо:

$R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}$

Побудова

Побудова лемніскати з допомогою трьох відрізків. $AC=BD={\sqrt {2}}a,CD=2a$

З допомогою трьох відрізків

Це один із найпростіших і найшвидших способів, однак потребує наявності додаткових пристосувань.

На площині вибираються дві точки — $A$ і $B$ — майбутні фокуси лемніскати. Складається спеціальна конструкція із трьох відрізків, скріплених в одну лінію так, щоб отримана лінія могла вільно вигинатися в двох місцях (точки вигину — $C$ та $D$). При цьому необхідно зберігати пропорції відрізків: $\textstyle AC=BD={\frac {AB}{\sqrt {2}}},\;CD=AB$. Кінці лінії закріплюються до фокусів. При непараллельному повертанні відрізків навколо фокусів середина центрального відрізка описуватиме лемніскату Бернуллі.

За допомогою січних (спосіб Маклорена)

Будується коло радіуса $\textstyle {\frac {c}{\sqrt {2}}}$ з центром в одному із фокусів. Із середини $O$ фокусного відрізка будується довільна січна $OPS$ ($P$ i $S$ — точки перетину з колом), і на ній в обидві сторони відкладаються відрізки $OM_{1}$ і $OM_{2}$, рівні хорді $PS$. Точки $M_{1}$, $M_{2}$ лежать на різних петлях лемніскати.

Застосування

• Лемніската використовується як перехідна лінія на заокругленнях малого радіуса на залізничних коліях в гірничій місцевості, а також трамвайних коліях.
• Еквіпотегційні лінії поля, яке створюється двома паралельними токами, що протікають вздовж нескінченно довгих провідників, в площині, яка перпендикулярна до них, в окремих випадках є лемніскатами.
• Як довів Бонаті, Лемніската є кривою, що володіє тією властивістю, що матеріальна точка великої ваги, виходячи із стану спокою, під дією сили тяжіння переміщається по дузі лемніскати за той самий час, що і по відповідній хорді. При цьому, центр лемніскати збігається з початковим положенням рухомої точки, а її вісь нахилена щодо вертикалі під кутом 45°. ^{: стор.161-162}

Див. також

• Лемніската
• Овал Кассіні
• Синусоїдальна спіраль

Примітки =

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Gutenmacher Victor; Vasilyev N. B. (1980). Straight Lines and Curves. Moskou: Mir Publishers. с. 240.
• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение (справочное руководство). — москва : изд. физико-математической литературы, 1960.

• Robert C. Yates (1947). A Handbook on Curves and their Properties. digital reprint by www.CircuitousRoot.com. с. 198.

• Lockwood E. H. (Edward Harrington) (1961). A Book of Curves. Cambridge, Eng. : University Press. с. 198. ISBN 9780511569340.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Lemniscate(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Lemniscate в архіві MacTutor (англ.)
• Robert FERRÉOL, LEMNISCATE OF BERNOULLI на сайті [1], 2017
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Bernoulli_lemniscate, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 *Fagnano e gli archi di lemniscata (Фаньяно та довжина дуги лемніскати) (італ.)