Генератриса

У комбінаториці генератри́са або твірна функція (англ. generating function) послідовності $\{a_{n}\}$ — це формальний степеневий ряд

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$.

Експоненційна генератриса (твірна функція) — це формальний степеневий ряд

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}$.

Доволі часто генератриса (твірна функція) послідовності $\{a_{n}\}$ є одночасно рядом Тейлора відомої аналітичної функції, і це можна використовувати при дослідженні властивостей самої послідовності. Тим не менше, генератрисі необов'язково відповідає аналітична функція.

Наприклад, два ряди

$\sum _{n=0}^{\infty }(3^{n})^{n}x^{n}$ і $\sum _{n=0}^{\infty }(2^{n})^{n}x^{n}$

мають радіус збіжності нуль, тобто розбігаються в усіх точках, крім нуля, а в нулі обидва дають 1, тобто як функції вони збігаються; тим не менше, як генератриси (тобто формальні ряди) вони різні.

Генератриси (твірні функції) надають можливість просто описувати складні послідовності в комбінаториці, а іноді допомагають знайти для них явні формули. Метод генератрис був розроблений Ейлером у 50-х роках XVIII століття.

Властивості

• (Експоненціальна) генератриса (твірна функція) суми (чи різниці) двох послідовностей дорівнює сумі (чи різниці) відповідних (експоненціальних) генератрис.
• Якщо $A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ і $B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}$ — генератриси послідовностей $\{a_{n}\}$ і $\{b_{n}\}$, то $A(x)B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$, де $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$.
• Якщо $A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}$ і $B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}$ — експоненційні генератриси послідовностей $\{a_{n}\}$ і $\{b_{n}\}$, то $A(x)B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}$, де $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a_{k}b_{n-k}$.

Приклади

Нехай $B_{n}$ дорівнює кількості варіантів представлення числа $n$ у вигляді $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}$, де $\{k_{i}\}$ — невід'ємні цілі числа і $m$ фіксовано, тоді

$\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}x^{n}=(1+x+x^{2}+\cdots )^{m}=(1-x)^{-m}$

Тепер число $B_{n}$ можна знайти як коефіцієнт при $x^{n}$ в розкладі $(1-x)^{-m}$ по степенях $x$. Для цього можна скористатися визначенням біноміальних коефіцієнтів або ж безпосередньо взяти n разів похідну в нулі:

$B_{n}=(-1)^{n}{-m \choose n}=m(m+1)\cdots (m+n-1)/n!={m+n-1 \choose n}.$

Додатково

Переклад «генератриса» терміну «generating function» з англійської є не досить вдалим. Краще використовувати натомість більш вживаний термін в українській математичній літературі — «твірна функція», якому відповідає російське «производящая функция» [1]^{[недоступне посилання з липня 2019]}.

Див. також

• Генератриса цілочисельної випадкової величини
• Рекурентне співвідношення

Посилання

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Дрозд Ю. А. (2004). Дискретна математика (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 70. (укр.)
• Бронштейн Е. М. Производящие функции // Соросовский Образовательный Журнал. — 2001. — Т. 7, № 2.
• Воронин С., Кулагин А. Метод производящих функций // Квант. — 1984. — № 5.
• Ландо С. К. Лекции по комбинаторике. — МЦНМО, 1994.
• Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. — М. : МЦНМО, 2007. — 144 с. — ISBN 978-5-94057-042-4.
• В. Феллер. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons. — 2-е изд. — М. : Мир, 1964. — С. 270—272.
• Herbert S. Wilf. Generatingfunctionology. — Academic Press, 1994. — ISBN 0-12-751956-4.