Базис (математика)

Ілюстрація стандартного базису в R². Блакитний і помаранчевий вектори є елементами базису; зелений вектор може бути представлений через базисні вектори, він лінійно залежить від них.

Ба́зисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору $V$ називається впорядкований набір векторів $\{e_{1},...,e_{n}\}$, якщо кожний вектор із $V$ можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації:

$v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i},\quad a_{i}\in \mathbb {K} .$

Коефіцієнти $a_{i}$ кільця $\mathbb {K}$ називаються координатами вектора $v$ відносно базису ${\ e_{i}}$. Ця рівність зазвичай записується скорочено:

$a=(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$. Тобто так само, як і для запису матриць.

Якщо $a=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}),$ $b=(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3})$ та $\lambda$ - деяке дійсне число, то

$a=b\Leftrightarrow \alpha _{1}=\beta _{1}\land \alpha _{2}=\beta _{2}\land \alpha _{3}=\beta _{3},\quad \quad \lambda a=(\lambda \alpha _{1},\lambda \alpha _{2},\lambda \alpha _{3}),\quad \quad a+b=(\alpha _{1}+\beta _{1},\,\,\alpha _{2}+\beta _{2},\,\,\alpha _{3}+\beta _{3}).$

Таким чином, кожний вектор простору повністю визначається своїми координатами, тобто впорядкованою трійкою дійсних чисел,а операції над векторами простору зводяться до операцій над впорядкованими трійками дійсних чисел. Таким чином, з алгебричної точки зору вектори простору можна вважати впорядкованими трійками чисел.

Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.

Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається $\ \dim V.$ Існують простори як із скінченним, так й нескінченним базисом. Наприклад, n-вимірний еквлідовий простір.

Вектори базису є лінійно незалежними.

Обертання

Ліва та права системи координат у трьохвимірному просторі. Базисом є трійка векторів е1, е2, е3, кожний з яких спрямований уздовж якоїсь із осей.

Набір лінійно незалежних векторів можна неперервно перетворювати, тому ні у якій проміжній конфігурації об'єм не перетвориться на нуль, або до набору $e_{1},e_{2},...,e_{n}$(правий базис), або до набору $-e_{1},e_{2},...,e_{n}$ (лівий базис). Зокрема, перетворення здійснюється як поворот у площині, натягнутій на вектори $e_{1},e_{2}$ на кут ${\frac {\pi }{2}}$

$e_{1},e_{2},...,e_{n}\rightarrow -e_{1},e_{2},...,e_{n}$

Знак у формулі, наведеній під малюнком, визначається парністю перестановки.

Існує застереження щодо складання обертань: трьохвимірні обертання не комутують.

Приклад

Вектори e_i = (0, …, 1, …, 0), 1 ≤ i ≤ n утворюють базис в $\mathbb {K} ^{n}$.

Див. також

• Лема Стейніца про заміну
• Ортонормований базис
• Репер (математика)
• Тензор
• Базис циклів

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)