Функція Мебіуса

Функція Мебіуса $\mu (n)$ — мультиплікативна функція, яку застосовують у теорії чисел і комбінаториці, названа на честь німецького математика Мебіуса, який вперше розглянув її у 1831 р.

Означення

$\mu (n)$ визначена на множині всіх натуральних чисел $n$ і набуває значення ${-1,\;0,\;1}$ в залежності від вигляду розкладання числа $n$ на прості множники:

• $\mu (n)=1$, якщо $n=1$;
• $\mu (n)=0$, якщо $n$ ділиться на квадрат простого числа;
• $\mu (n)=(-1)^{k}$, якщо канонічний розклад $n$ має вигляд $n=p_{1}p_{2}...p_{k}$, де прості множники різні.

Властивості й застосування

Функція Мебіуса мультиплікативна: для довільних взаємно простих чисел $a$ і $b$ виконується рівність

$\mu (ab)=\mu (a)\mu (b).$

Сума значень функції Мебіуса по всім дільникам цілого числа $n\geq 2$ дорівнює нулю:

$\sum _{d|n}\mu (d)=\left\{{\begin{matrix}1,&n=1\\0,&n>1\end{matrix}}\right.$

Звідси, зокрема, випливає, що для довільної непорожньої скінченної множини кількість різних підмножин, які містять непарне число елементів, дорівнює кількості різних підмножин, які містять парне число елементів — факт, який застосовується у формулі обертання Мебіуса.

Функція Мебіуса пов'язана з функцією Ейлера $\varphi (n)$ таким співвідношенням:

$\varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}},$

де в правій частині перераховуються всі дільники числа $n$.

Обернення Мебіуса

Перша формула обернення Мебіуса

Для арифметичних функцій $f$ і $g$,

$\ g(n)=\sum _{d|n}f(d)$

тоді і тільки тоді, коли

$f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)$.

Цю рівність також називають принципом обернення Дедекінда-Ліувілля на честь німецького математики Ріхарда Дедекінда (1831—1916) та французького математика Жозефа Ліувілля (1809—1882).

Друга формула обернення Мебіуса

Для дійснозначних функцій $f(x)$ і $g(x)$, визначених при $x\geqslant 1$,

$g(x)=\sum _{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}}\right)$

тоді і тільки тоді, коли

$f(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)$.