Մյոբիուսի ֆունկցիա

Մյոբիուսի ֆունկցիա, մուլտիպլիկատիվ թվաբանական ֆունկցիա, որը կիրառվում է թվերի տեսության մեջ և կոմբինատորիկայում։ Անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ավգուստ Մյոբիուսի պատվին, որը առաջին անգամ դիտարկել է այն 1831 թվականին։

Սահմանում

$\mu (n)$ որոշված է բոլոր $n$ բնական թվերի համար, ընդունում է -1,0,1 արժեքները՝ կախված $n$ թվի պարզ արտադրիչների վերլուծման բնույթից։

$\mu (n)=1$ , եթե $n$ -ը ազատ է քառակուսուց(չի բաժանվում ոչ մի պարզ թվի քառակուսու վրա), իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը զույգ է։
$\mu (n)=-1$ , եթե $n$ -ը ազատ է քառակուսուց, իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը կենտ է։
$\mu (n)=0$ , եթե $n$ -ը ազատ չէ քառակուսուց։

Ըստ սահմանման ընդունված է համարել $\mu (1)=1$ ։

Հատկություններ

Մյոբիուսի ֆունկցիան մուլտիպլիկատիվ է՝ ցանկացած $a$ և $b$ փոխադարձ պարզ թվերի համար ճիշտ է $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$ հավասարությունը։
$n$ ամբողջ թվի բոլոր բաժանարարների Մյոբիուսի ֆունկցիայի արժեքների գումարը հավասար է 0-ի։

\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}

Սա հետևում է այն բանից, որ ցանկացած ոչ դատարկ վերջավոր բազմության կենտ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակը հավասար է զույգ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակին։

$\sum \limits _{k=1}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1$
$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,$ որտեղ n -ը դրական ամբողջ թիվ է։
$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1$
Մյոբիուսի ֆունկցիան սերտ կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի հետ։ Մյոբիուսի ֆունկցիայով են արտահայտվում Դիրիխլիեյի ֆունկցիայի շարքի գործակիցները, որոնք մուլտիպլիկատիվ հակադարձ են Ռիմանի զետա ֆունկցիային․

\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}

.

Շարքը բացարձակ զուգամետ է ${\rm {Re}}\,s>1$ ուղղի վրա, ${\rm {Re}}\,s=1$ ուղղի վրա զուգամիտում է պայմանական, $1/2<{\rm {Re}}\,s<1$ միջակայքում պայմանական զուգամիտությունը համարժեք է Ռիմանի հիպոթեզին, իսկ ${\rm {Re}}\,s<1/2$ դեպքում շարքը չի զուգամետում։

Երբ ${\rm {Re}}\,s>1$ ճիշտ է նաև․

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}$
$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (pn)}{n^{s}}}={\frac {p^{s}}{(1-p^{s})\zeta (s)}},$ որտեղ p — պարզ թիվ է։
Մյոբիուսի ֆունկցիան կապված է նաև Մերտենսի ֆունկցիայի հետ, որը կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի զրոյական կետերի հետ։

M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k).

Ճշմարիտ են նաև․

{\frac {1}{x}}\sum \limits _{n\leq x}\mu (n)=o(1)

երբ

x\rightarrow \infty

{\frac {1}{x}}\sum \limits _{n\leq x}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)}}+O({\frac {1}{\sqrt {x}}})

,

Բազմության զրոների գծային խտությունը հավասար է $1-1/\zeta (2)=0,3920729$ , իսկ միավորների խտությունը՝ $1/2\zeta (2)=0,30396355$ ։

Մյոբիուսի հղում

Մյոբիուսի հղման առաջին բանաձև

Երկու թվաբանական $f$ և $g$ ֆունկցիաների համար

g(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)

այն և միայն այն դեպքում, երբ

f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)

։

Մյոբիուսի հղման երկրորդ բանաձևը

Երկու իրական $f(x)$ և $g(x)$ ֆունկցիաների համար, որոնք որոշված են $x\geqslant 1$ համար

g(x)=\sum _{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}}\right)

այն և միայն այն դեպքում, երբ

f(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)

։

Այստեղ $\sum _{n\leqslant x}$ գումարը մեկնաբանվում է որպես $\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }$ ։

Մյոբիուսի ընդհանրացված թեորեմը

Դիցուք տրված է որոշակի կարգավորված բազմություն $\prec$ հարաբերությամբ։ Համարենք, որ $a\preccurlyeq b\iff a\prec b\lor a=b$ ։

Սահմանում

Մյոբիուսի ընդհանրացված ֆունկցիան որոշվում է

{\mu _{A}^{*}}(a,b)={\begin{cases}1,&a=b\\-\sum \limits _{a\preccurlyeq z\prec b}{{\mu _{A}^{*}}(a,z)},&a\prec b\\0,&b\prec a\end{cases}}

ռեկուրենտ առընչությամբ։

Հղման բանաձևը

Դիցուք g և f ֆունկցիաները ընդունում են իրական արժեքներ $A$ բազմության վրա և տեղի ունի $g(x)=\sum \limits _{y\preccurlyeq x}{f(y)}$ պայմանը։

Ապա  $f(x)=\sum \limits _{y\preccurlyeq x}{{\mu _{A}^{*}}(y,x)g(y)}$ ։

Կապը Մյոբիուսի դասական ֆունկցիայի հետ

Եթե $A$ բազմության փոխարեն դիտարկենք բնական թվերի բազմությունը, իսկ $a\prec b$ հարաբերության փոխարեն $a\mid b\land a\not =b$ հարաբերությունը, ապա կստանանք ${\mu _{\mathbb {N} }^{*}}(a,b)=\mu \left({\frac {b}{a}}\right)$ , որտեղ $\mu$ - Մյոբիուսի դասական ֆունկցիան է։