Трисектриса

Поняття трисектриси може використовуватись у двох значеннях:

1. Промінь, що відсікає від даного кута його третю частину.
2. Крива, за допомогою якої можна поділити кут на три рівні частини.

Трисектриса кута

Промінь СК - трисектриса кута АСВ

Трисектриса кута — один з двох променів, що виходить з вершини деякого кута і ділить його градусну міру у відношенні 1: 2. Будь-який кут має дві трисектриси, які ділять його на три рівні частини.

Поняття трисектриси виникло ще в Стародавній Греції при намаганні вирішити задачу на трисекцію кута.

Задача на трисекцію кута формулюється наступним чином: тільки за допомогою циркуля та лінійки без поділок поділити даний кут на три рівні частини. Як було доведено в 19 столітті, ця задача в загальному випадку, поряд з двома іншими задачами давнини про квадратуру круга та подвоєння куба, не має розв'язку у її початковому формулюванні.

Задачу трисекції кута за допомогою тільки циркуля та лінійки можливо вирішити лише для деяких певних кутів (наприклад, 67.5^o, 90^o, 108^o, 135^o, 180^o та ін.). Але в загальному випадку вона може бути вирішена при застосуванні інших додаткових засобів, наприклад, лінійки з позначками, деяких спеціальних кривих або спеціальних інструментів (транспортир, томагавк).

Приклади трисектрис:

• Діагоналі правильного п'ятикутника є трисектрисами його внутрішніх кутів.
• Пів-діагоналі правильного шестикутника, що виходять з двох сусідніх його вершин, є трисектрисами розгорнутого кута, утвореного третьою діагоналлю.

Одна з властивостей трисектрис кутів трикутника стверджує, що точки перетину суміжних трисектрис кутів довільного трикутника є вершинами рівностороннього трикутника. (теорема Морлі).

Крива

В геометрії трисектриса — це крива, за допомогою якої довільний кут можна розділити на три рівних частини.

Існує безліч таких кривих, і методи, що використовуються для побудови трисектриси кута, відрізняються залежно від кривої.

Поділ кута на три рівні частини за допомогою синусоїди

Поділ кута на три частини за допомогою рівнобічної гіперболи

Найдавніші приклади трисектриси були відомі з часів античності, включно з трисектрисою Гіппія та спіраллю Архімеда, обидві з цих кривих також є сектрисами.

Найбільш відома трисектриса Маклорена, яка часто наводиться в літературі як стандартний приклад для трисектриси. Її алгебраїчне рівняння: $x(x^{2}+y^{2})=a\cdot (3x^{2}-y^{2})$

Деякі трисектриси:

• Трисектриса (частинний випадок равлика Паскаля) : $(x^{2}+y^{2}-2bx)^{2}-b^{2}(x^{2}+y^{2})=0,(b\in \mathbb {R} ^{+})$
• Трисектриса Маклорена.
• Рівносторонній трилисник (або трисектриса Лонгчампа)
• Кубика Чирнгауза (також трисектриса Каталана чи кубика Лопіталя): $y^{2}=x^{3}+3x^{2}$
• Лист Дюрера
• Кубічна парабола
• Гіпербола з ексцентриситетом 2 (рівнобічна гіпербола).
• Парабола.
• Трисектриса Чеви (також циклоїда Чеви)

Спорідненим поняттям є сектриса — це крива, яку можна використовувати для поділу довільного кута на будь-яке ціле число частин.

Приклади:

• Синусоїда.
• Спіраль Архімеда
• Квадратриса Динострата (також трисектриса Гіпія, Квадратриса Гіпія)
• Сектриса Маклорена
• Сектриса Чеви
• Сектриса Делангеса

Див. також

• Теорема Морлі про трисектриси
• Трисекція кута, Подвоєння куба та Квадратура круга
• Невсіс
• Томагавк (геометрія)
• Трисектриса Маклорена

Джерела

• H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer, Geometry Revisited, t.19,193 page (англ.). Mathematical Association of America, с.47
• Steven Schwartzmann: The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA, 1994, ISBN 0-88385-511-9 (Витяг (Google))
• Jim Loy: Trisection of an Angle. Part VI – Cheating (using curves other than circles)
• Weisstein, Eric W. Trisectrix(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• "Sectrix curve" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (In French)
• Е. Епифанов Трисекторы (окончание), Квант, 2017, номер 9, 32–33
• Е. Д. Куланин , Еще раз о трисекции угла, У світі геометрії № 4 (340) лютий 2012 р. Математика в школах України.