Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія для друку більше не підтримується і може мати помилки обробки. Будь ласка, оновіть свої закладки браузера, а також використовуйте натомість базову функцію друку у браузері.
Ядро лінійного відображення (ядро матриці ) A розміру m × n , це множина
Ker
(
A
)
=
{
x
∈
R
n
:
A
x
=
0
}
{\displaystyle {\text{Ker}}(\mathbf {A} )=\left\{{\textbf {x}}\in {\textbf {R}}^{n}:\mathbf {Ax} ={\textbf {0}}\right\}}
Матрицю
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
розглядають як матрицю лінійного відображення із простору розмірності n в простір розмірності m .
Для знаходження ядра матриці потрібно розв'язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь .
Приклад
Розглянемо матрицю
A
=
[
2
3
5
−
4
2
3
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}
Нульовий простір цієї матриці утворюють всі вектори (x , y , z ) ∈ R 3 для яких
[
2
3
5
−
4
2
3
]
[
x
y
z
]
=
[
0
0
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}{\text{.}}}
Це можна записати в вигляді однорідної системи лінійних рівнянь із шуканими x , y і z :
2
x
+
3
y
+
5
z
=
0
,
−
4
x
+
2
y
+
3
z
=
0.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&3y&&\;+\;&&5z&&\;=\;&&0,\\-4x&&\;+\;&&2y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&0.\\\end{alignedat}}}
І далі у вигляді матриці:
[
2
3
5
0
−
4
2
3
0
]
.
{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}
Із використанням методу Жордана Гауса , переходимо до:
[
1
0
0.625
0
0
1
1.625
0
]
.
{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0.625&0\\0&1&1.625&0\end{array}}\right].}
Отже:
x
=
−
0.625
c
y
=
−
1.625
c
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x=\;&&-0.625c\\y=\;&&-1.625c.\end{alignedat}}}
Тепер ми можемо записати нульовий простір (розв'язки Ax = 0 ) в термінах c (яка є нашою вільною змінною ), де c є скаляром :
[
x
y
z
]
=
c
[
−
0.625
−
1.625
1
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}\,\,\,-0.625\\-1.625\\1\end{bmatrix}}.}
Нульовий простір A збігається з множиною розв'язків цих рівнянь (в цьому випадку, пряма через початок координат в R 3 ).
Див. також
Джерела