Розподіл Фішера

Розподіл Фішера
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ ступені свободи
Носій функції	$x\in [0,+\infty )\!$
Розподіл імовірностей	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!$
Середнє	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$ для $d_{2}>2$
Мода	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}\!$ для $d_{1}>2$
Дисперсія	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$ для $d_{2}>4$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!$ для $d_{2}>6$
Коефіцієнт ексцесу	див. текст
Твірна функція моментів (mgf)	не існує, raw moments defined elsewhere
Характеристична функція	див. текст

Розподіл Фішера або F-розподіл у теорії імовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. F-розподіл часто зустрічається як розподіл тестової статистики коли нульова гіпотеза вірна, особливо в тесті відношення правдоподібності, найважливіший випадок аналіз дисперсії (див. F-тест).

Визначення

Нехай $Y_{1},Y_{2}$ — дві незалежні випадкові величини, що мають розподіл хі-квадрат: $Y_{i}\sim \chi ^{2}(d_{i})$, де $d_{i}\in \mathbb {N} ,\;i=1,2$. Тоді розподіл випадкової величини

$F={\frac {Y_{1}/d_{1}}{Y_{2}/d_{2}}}$,

називається розподілом Фішера зі ступенями свободи $d_{1}$ і $d_{2}$. Пишуть $F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$.

Щільність випадкової величини з F-розподілом з параметрами $d_{1},d_{2}\ (F(d_{1},d_{2}))$ задається формулою:

$f(x)={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\!$

для дійсного числа $x\geq 0$, тут d₁ та d₂ цілі додатні числа, а B — Бета функція.

Моменти

Математичне чекання і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд:

$\mathbb {M} [F]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$, якщо $d_{2}>2$,

$\mathrm {D} [F]={\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$, якщо $d_{2}>4$.

Властивості розподілу Фішера

• Якщо $F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$, те

${\frac {1}{F}}\sim \mathrm {F} (d_{2},d_{1})$.

• Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо $F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$, те

$F_{d_{1},d_{2}}\to \delta (x-1)$ по розподілі при $d_{1},d_{2}\to \infty$,

де $\delta (x-1)$ — дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи $X\equiv 1$.

Зв'язок з іншими розподілами

• Якщо $F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$, те випадкові величини $d_{1}F_{d_{1},d_{2}}$ збінаються по розподілу до $\chi ^{2}(d_{1})$ при $d_{2}\to \infty$.

Див. також

• Розподіл хі-квадрат