Хармонијска анализа

Хармоници боја. График хармонијске анализе показује како различите таласне дужине формирају интеракције са црвеним светлом. На растојању од λ/2 (половини таласне дужине), црвена је савршено синхронизована са својим другим хармоником у ултраљубичастој светлости. Све остале таласне дужине у визуелном спектру имају мању разлику од λ/2 међу собом, формирајући хармонијске осцилације у комбинованим таласима. Код λ/14, осцилације круже сваког 14. таласа, док на λ/8 оне круже сваког 8. таласа. Осцилације су најбрже на λ/4, кад круже на сваком четвртом таласу, док на λ/3 круже на сваком 7. таласу, а на λ/2,5 круже на сваком 13-том. У доњој секцији је приказано како λ/4 хармоника делује у видљиву светлости (зелено и црвено), фотографисано на у оптичкој равни.

Хармонијска анализа је грана математике која се бави репрезентацијом функција или сигнала као суперпозиције основних таласа, као и студирањем и генерализацијом нотације Фуријеових редова и Фуријеових трасформација (и.е. проширена форма Фуријеове анализе). Током задња два века, то је постала значајна тема са применама у разним областима као што су теорија бројева, теорија репрезентације, обрада сигнала, квантна механика, анализа плиме и неуронаука.

Термин „хармоници” потиче од старогрчке речи harmonikos, са значењем „вешт у музици”. У физичким проблемима сопствених вредности, овај термин је почео да означава таласе чије су фреквенције целобројни умношци један другог, као што су фреквенције хармоника музичких нота, мада је тај појам генерализован изван почетног значења.

Класична Фуријеова трансформација на Rⁿ је још увек област текућих истраживања, посебно у погледу Фуријеове трансформације на генералнијим објектима као што су модификоване расподеле. На пример, ако се услове извесни захтеви на дистрибуцију f, може се покушати да се они транслирају у смислу Фуријеове трансформације f. Пример тога је Пали-Винерова теорема. Она непосредно подразумева да ако је f ненулта расподела компактних носаћих функција, онда њена Фуријеова трансформација никада није компактно подржана. Ово је врло елементарни облик принципа неодређености у окружењу хармонијске анализе. Такође погледајте: конвергенцију Фуријеове серије.

Фуријеове серије могу се погодно проучавати у контексту Хилбертових простора, што пружа везу између хармонијске анализе и функционалне анализе.

Примењена хармонијска анализа

Временски сигнал бас гитаре А ноте отворене жице (55 Hz)

Фуријева трансформација временског сигнала бас гитаре А ноте отворене жице (55 Hz)

Многе примене хармонијске анализе у науци и инжењерству почињу идејом или хипотезом да је феномен или сигнал састављен од суме појединачних осцилаторних компоненти. Океанска плима и вибрирајуће струне уобичајени су и једноставни примери. Уобичајен теоретски приступ је да покуша да се опише систем диференцијалном једначином или системом једначина да би се предвиделе суштинске карактеристике, укључујући амплитуду, фреквенцију и фазе осцилационих компоненти. Специфичне једначине зависе од поља, мада теорије углавном покушавају да одаберу једначине које представљају главне применљиве принципе.

Експериментални приступ се обично састоји од прикупљања података који тачно квантификују феномен. На пример, у истраживању плима, експерименталиста би прибавио податке о дубини воде као функције времена у довољно блиско размакнутим интервалима да се види свака осцилација и током довољно дугог периода да су обухваћени вишеструки осцилациони периоди. У изучавању вибрирајућих струна, уобичајено је да експерименталиста прибави узорке звучних таласних форми узорковане брзином која је најмање двоструко већа од највише очекиване фреквенције и у трајању много пута већем од очекиване најниже фреквенције.

На пример, горњи сигнал приказан са десне стране је звучни таласни облик бас-гитаре која је свирана отвореном жицом и која одговара А ноти са основном фреквенцијом од 55 Hz. Таласни облик изгледа осцилаторно, али је сложенији од једноставног синусног таласа, што указује на присуство додатних таласа. Различите таласне компоненте које доприносе звуку могу се открити применом технике математичке анализе познате као Фуријеова трансформација, чији је резултат приказан на доњој слици. Уочљиво је да постоји истакнути пик на 55 Hz, као и да постоје и други пикови на 110 Hz, 165 Hz и на другим фреквенцијама које одговарају целобројним умношцима од 55 Hz. У овом случају је 55 Hz идентификовано као основна фреквенција вибрације низа, а целобројни умношци су познати као хармоници.

Апстрактна хармонијска анализа

Лорд Келвинов хармонијски аналатор из 1876. годиен, Хунтеријански музеј, Глазгов

Једна од најмодернијих грана хармонијске анализе, који корени су формирани средином 20. века, јесте анализа тополошких група. Основне мотивишуће идеје су разне Фуријеове трансформације, које се могу генерализовати до трансформације функција дефинисаних на Хаусдорфовим локално компактним тополошким групама.

Теорија за абелове локално компактне групе назива се Понтрјагинова дуалност. Хармонијска анализа проучава својства те дуалности и Фуријеове трансформације и покушава да прошири те карактеристике на различита подешавања, на пример на случај неабеловских Лијевих група.

За опште неабеловске локално компактне групе, хармонијска анализа је уско повезана са теоријом репрезентација унитарних група. За компактне групе, Петер-Вајлова теорема објашњава како се могу добити хармоници одабиром једног нередуцибилног приказа из сваке еквивалентне класе репрезентација. Овај избор хармоника има нека од корисних својстава класичне Фуријеове трансформације у смислу преношења конволуција до тачно одређених производа, или на неки други начин показује одређено разумевање исходишне структуре група. Такође погледајте некомутативну хармонијску анализу.

Ако група није ни абеловска, ни компактна, за сада није позната опште задовољавајућа теорија („задовољавајућа” у смислу да је барем јака, колико и Планшерелова теорема). Међутим, анализирани су многи конкретни случајеви, на пример SL_n. У овом случају репрезентације у бесконачним димензијама играју пресудну улогу.

Друге гране

• Студија сопствених вредности и сопствених вектора Лапласијана на доменима, многострукостима, и (у мањој мери) графова се исто тако сматра граном хармонијске анализе.
• Хармонијска анализа на Еуклидским просторима бави се својствима Фуријеове трансформације на Rⁿ која немају аналоге на општим групама. На пример, чињеница да је Фуријеова трансформација ротационо-инваријантна. Декомпозиција Фуријеове трансформације у њене радијалне и сферне компоненте доводи до тема као што су Беселове функције и сферни хармоници.
• Хармонијска анализа на цевним доменима бави се уопштавањем својстава Хардијевих простора на више димензије.

Види још

• Хармоник (математика)
• Процена спектралне густине

Литература

• Стеин, Е. M.; Wеисс, Г. (1971). Интродуцтион то Фоуриер Аналyсис он Еуцлидеан Спацес. Принцетон Университy Пресс. ИСБН 978-0-691-08078-9. 
• Елиас Стеин wитх Тимотхy С. Мурпхy, Хармониц Аналyсис: Реал-Вариабле Метходс, Ортхогоналитy, анд Осциллаторy Интегралс, Принцетон Университy Пресс, 1993.
• Елиас Стеин, Топицс ин Хармониц Аналyсис Релатед то тхе Литтлеwоод-Палеy Тхеорy, Принцетон Университy Пресс, 1970.
• Yитзхак Катзнелсон, Ан интродуцтион то хармониц аналyсис, Тхирд едитион. Цамбридге Университy Пресс, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
• Теренце Тао, Фоуриер Трансформ. (Интродуцес тхе децомпоситион оф фунцтионс инто одд + евен партс ас а хармониц децомпоситион овер ℤ₂.)
• Yурии I. Лyубицх. Интродуцтион то тхе Тхеорy оф Банацх Репресентатионс оф Гроупс. Транслатед фром тхе 1985 Руссиан-лангуаге едитион (Кхарков, Украине). Биркхäусер Верлаг. 1988.
• Георге W. Мацкеy, Хармониц аналyсис ас тхе еxплоитатион оф сyмметрy–а хисторицал сурвеy, Булл. Амер. Матх. Соц. 3 (1980), 543–698.

• Цонте, С. D.; де Боор, Царл (1980). Елементарy Нумерицал Аналyсис (Тхирд изд.). Неw Yорк: МцГраw Хилл, Инц. ИСБН 978-0-07-066228-5. 
• Еванс, L. (1998). Партиал Дифферентиал Еqуатионс. Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 978-3-540-76124-2. 
• Хоwелл, Кеннетх Б. (2001). Принциплес оф Фоуриер Аналyсис. ЦРЦ Пресс. ИСБН 978-0-8493-8275-8. 
• Камен, Е. W.; Хецк, Б. С. (2. 3. 2000). Фундаменталс оф Сигналс анд Сyстемс Усинг тхе Wеб анд Матлаб (2 изд.). Прентисс-Халл. ИСБН 978-0-13-017293-8. 
• Кнутх, Доналд Е. (1997). Тхе Арт оф Цомпутер Программинг Волуме 2: Семинумерицал Алгоритхмс (3рд изд.). Аддисон-Wеслеy Профессионал. Сецтион 4.3.3.C: Дисцрете Фоуриер трансформс, пг.305. ИСБН 978-0-201-89684-8. 
• Мüллер, Меинард (2015). Тхе Фоуриер Трансформ ин а Нутсхелл (ПДФ). Спрингер. Ин Фундаменталс оф Мусиц Процессинг, Сецтион 2.1, п. 40–56. ИСБН 978-3-319-21944-8. дои:10.1007/978-3-319-21945-5. Архивирано из оригинала (ПДФ) 08. 04. 2016. г. Приступљено 11. 08. 2019. 
• Полyанин, А. D.; Манзхиров, А. V. (1998). Хандбоок оф Интеграл Еqуатионс. Боца Ратон: ЦРЦ Пресс. ИСБН 978-0-8493-2876-3. 
• Рудин, Wалтер (1990). Фоуриер Аналyсис он Гроупс. Wилеy-Интерсциенце. ИСБН 978-0-471-52364-2. 
• Смитх, Стевен W. (1999). Тхе Сциентист анд Енгинеер'с Гуиде то Дигитал Сигнал Процессинг (Сецонд изд.). Сан Диего: Цалифорниа Тецхницал Публисхинг. ИСБН 978-0-9660176-3-2. 
• Баилеy, Давид Х.; Сwарзтраубер, Паул Н. (1994), „А фаст метход фор тхе нумерицал евалуатион оф цонтинуоус Фоуриер анд Лаплаце трансформс” (ПДФ), СИАМ Јоурнал он Сциентифиц Цомпутинг, 15 (5): 1105—1110, ЦитеСеерX 10.1.1.127.1534 , дои:10.1137/0915067, Архивирано из оригинала (ПДФ) 20. 07. 2008. г., Приступљено 11. 08. 2019 
• Боасхасх, Б., ур. (2003), Тиме-Фреqуенцy Сигнал Аналyсис анд Процессинг: А Цомпрехенсиве Референце, Оxфорд: Елсевиер Сциенце, ИСБН 978-0-08-044335-5 
• Боцхнер, С.; Цхандрасекхаран, К. (1949), Фоуриер Трансформс, Принцетон Университy Пресс 
• Брацеwелл, Р. Н. (2000), Тхе Фоуриер Трансформ анд Итс Апплицатионс (3рд изд.), Бостон: МцГраw-Хилл, ИСБН 978-0-07-116043-8 
• Цампбелл, Георге; Фостер, Роналд (1948), Фоуриер Интегралс фор Працтицал Апплицатионс, Неw Yорк: D. Ван Ностранд Цомпанy, Инц. 
• Цхампенеy, D.C. (1987), А Хандбоок оф Фоуриер Тхеоремс, Цамбридге Университy Пресс 
• Цхатфиелд, Цхрис (2004), Тхе Аналyсис оф Тиме Сериес: Ан Интродуцтион, Теxтс ин Статистицал Сциенце (6тх изд.), Лондон: Цхапман & Халл/ЦРЦ 
• Цлозел, Лаурент; Делорме, Патрице (1985), „Сур ле тхéорèме де Палеy-Wиенер инвариант поур лес гроупес де Лие рéдуцтифс рéелс”, Цомптес Рендус де л'Ацадéмие дес Сциенцес, Сéрие I, 300: 331—333 
• Цондон, Е. У. (1937), „Иммерсион оф тхе Фоуриер трансформ ин а цонтинуоус гроуп оф фунцтионал трансформатионс”, Проц. Натл. Ацад. Сци., 23 (3): 158—164, Бибцоде:1937ПНАС...23..158Ц, ПМЦ 1076889 , ПМИД 16588141, дои:10.1073/пнас.23.3.158 
• де Гроот, Сyбрен Р.; Мазур, Петер (1984), Нон-Еqуилибриум Тхермодyнамицс (2нд изд.), Неw Yорк: Довер 
• Дуоандикоетxеа, Јавиер (2001), Фоуриер Аналyсис, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-2172-5 
• Дyм, Х.; МцКеан, Х. (1985), Фоуриер Сериес анд Интегралс, Ацадемиц Пресс, ИСБН 978-0-12-226451-1 
• Ердéлyи, Артхур, ур. (1954), Таблес оф Интеграл Трансформс, Вол. 1, МцГраw-Хилл 
• Феллер, Wиллиам (1971), Ан Интродуцтион то Пробабилитy Тхеорy анд Итс Апплицатионс, Вол. II (2нд изд.), Неw Yорк: Wилеy, МР 0270403 
• Фолланд, Гералд (1989), Хармониц аналyсис ин пхасе спаце, Принцетон Университy Пресс 
• Фоуриер, Ј.Б. Јосепх (1822), Тхéорие аналyтиqуе де ла цхалеур (на језику: Френцх), Парис: Фирмин Дидот, пèре ет филс, ОЦЛЦ 2688081 ЦС1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Фоуриер, Ј.Б. Јосепх (1878) [1822], Тхе Аналyтицал Тхеорy оф Хеат, Превод: Алеxандер Фрееман, Тхе Университy Пресс 
• Градсхтеyн, Израил Соломоновицх; Рyзхик, Иосиф Моисеевицх; Геронимус, Yури Вениаминовицх; Тсеyтлин, Мицхаил Yулyевицх; Јеффреy, Алан (2015), Зwиллингер, Даниел; Молл, Вицтор Хуго, ур., Табле оф Интегралс, Сериес, анд Продуцтс (на језику: енглески), Превод: Сцрипта Тецхница, Инц. (8тх изд.), Ацадемиц Пресс, ИСБН 978-0-12-384933-5 
• Графакос, Лоукас (2004), Цлассицал анд Модерн Фоуриер Аналyсис, Прентице-Халл, ИСБН 978-0-13-035399-3 
• Графакос, Лоукас; Тесцхл, Гералд (2013), „Он Фоуриер трансформс оф радиал фунцтионс анд дистрибутионс”, Ј. Фоуриер Анал. Аппл., 19: 167—179, арXив:1112.5469 , дои:10.1007/с00041-012-9242-5 
• Греинер, W.; Реинхардт, Ј. (1996), Фиелд Qуантизатион, Спрингер, ИСБН 978-3-540-59179-5 
• Гелфанд, I.M.; Схилов, Г.Е. (1964), Генерализед Фунцтионс, Вол. 1, Неw Yорк: Ацадемиц Пресс 
• Гелфанд, I.M.; Виленкин, Н.Y. (1964), Генерализед Фунцтионс, Вол. 4, Неw Yорк: Ацадемиц Пресс 
• Хеwитт, Едwин; Росс, Кеннетх А. (1970), Абстрацт хармониц аналyсис, Дие Грундлехрен дер матхематисцхен Wиссенсцхафтен, Банд 152, Вол. II: Струцтуре анд аналyсис фор цомпацт гроупс. Аналyсис он лоцаллy цомпацт Абелиан гроупс, Спрингер, МР 0262773 
• Хöрмандер, L. (1976), Линеар Партиал Дифферентиал Операторс, Вол. 1, Спрингер, ИСБН 978-3-540-00662-6 
• Хоwе, Рогер (1980), „Он тхе роле оф тхе Хеисенберг гроуп ин хармониц аналyсис”, Буллетин оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 3 (2): 821—844, Бибцоде:1994БАМаС..30..205W, МР 578375, дои:10.1090/С0273-0979-1980-14825-9 
• Јамес, Ј.Ф. (2011), А Студент'с Гуиде то Фоуриер Трансформс (3рд изд.), Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-17683-5 
• Јордан, Цамилле (1883), Цоурс д'Аналyсе де л'Éцоле Полyтецхниqуе, Вол. II, Цалцул Интéграл: Интéгралес дéфиниес ет индéфиниес (2нд изд.), Парис 
• Каисер, Гералд (1994), „А Фриендлy Гуиде то Wавелетс”, Пхyсицс Тодаy, 48 (7): 57—58, Бибцоде:1995ПхТ....48г..57К, ИСБН 978-0-8176-3711-8, дои:10.1063/1.2808105 
• Каммлер, Давид (2000), А Фирст Цоурсе ин Фоуриер Аналyсис, Прентице Халл, ИСБН 978-0-13-578782-3 
• Катзнелсон, Yитзхак (1976), Ан Интродуцтион то Хармониц Аналyсис, Довер, ИСБН 978-0-486-63331-2 
• Кириллов, Алеxандре; Гвисхиани, Алеxеи D. (1982) [1979], Тхеоремс анд Проблемс ин Фунцтионал Аналyсис, Спрингер 
• Кнапп, Антхонy W. (2001), Репресентатион Тхеорy оф Семисимпле Гроупс: Ан Овервиеw Басед он Еxамплес, Принцетон Университy Пресс, ИСБН 978-0-691-09089-4 
• Колмогоров, Андреy Николаевицх; Фомин, Сергеи Василyевицх (1999) [1957], Елементс оф тхе Тхеорy оф Фунцтионс анд Фунцтионал Аналyсис, Довер 
• Ладо, Ф. (1971), „Нумерицал Фоуриер трансформс ин оне, тwо, анд тхрее дименсионс фор лиqуид стате цалцулатионс”, Јоурнал оф Цомпутатионал Пхyсицс, 8 (3): 417—433, Бибцоде:1971ЈЦоПх...8..417Л, дои:10.1016/0021-9991(71)90021-0 
• Палеy, Р.Е.А.C.; Wиенер, Норберт (1934), Фоуриер Трансформс ин тхе Цомплеx Домаин, Америцан Матхематицал Социетy Цоллоqуиум Публицатионс (19), Провиденце, Рходе Исланд: Америцан Матхематицал Социетy 
• Пинскy, Марк (2002), Интродуцтион то Фоуриер Аналyсис анд Wавелетс, Броокс/Цоле, ИСБН 978-0-534-37660-4 
• Поинцарé, Хенри (1895), Тхéорие аналyтиqуе де ла пропагатион де ла цхалеур, Парис: Царрé 
• Пресс, Wиллиам Х.; Фланнерy, Бриан П.; Теуколскy, Саул А.; Веттерлинг, Wиллиам Т. (1992), Нумерицал Реципес ин C: Тхе Арт оф Сциентифиц Цомпутинг, Сецонд Едитион (2нд изд.), Цамбридге Университy Пресс 
• Рахман, Матиур (2011), Апплицатионс оф Фоуриер Трансформс то Генерализед Фунцтионс, WИТ Пресс, ИСБН 978-1-84564-564-9 
• Рудин, Wалтер (1987), Реал анд Цомплеx Аналyсис (3рд изд.), Сингапоре: МцГраw Хилл, ИСБН 978-0-07-100276-9 
• Симонен, П.; Олкконен, Х. (1985), „Фаст метход фор цомпутинг тхе Фоуриер интеграл трансформ виа Симпсон'с нумерицал интегратион”, Јоурнал оф Биомедицал Енгинееринг, 7 (4): 337—340, дои:10.1016/0141-5425(85)90067-6 
• Стеин, Елиас; Схакарцхи, Рами (2003), Фоуриер Аналyсис: Ан интродуцтион, Принцетон Университy Пресс, ИСБН 978-0-691-11384-5 
• Стеин, Елиас; Wеисс, Гуидо (1971), Интродуцтион то Фоуриер Аналyсис он Еуцлидеан Спацес, Принцетон, Н.Ј.: Принцетон Университy Пресс, ИСБН 978-0-691-08078-9 
• Танеја, Х.C. (2008), „Цхаптер 18: Фоуриер интегралс анд Фоуриер трансформс”, Адванцед Енгинееринг Матхематицс, Вол. 2, Неw Делхи, Индиа: I. К. Интернатионал Пвт Лтд, ИСБН 978-8189866563 
• Титцхмарсх, Е. (1986) [1948], Интродуцтион то тхе тхеорy оф Фоуриер интегралс (2нд изд.), Оxфорд Университy: Цларендон Пресс, ИСБН 978-0-8284-0324-5 
• Вретблад, Андерс (2000), Фоуриер Аналyсис анд итс Апплицатионс, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 223, Неw Yорк: Спрингер, ИСБН 978-0-387-00836-3 
• Wхиттакер, Е. Т.; Wатсон, Г. Н. (1927), А Цоурсе оф Модерн Аналyсис (4тх изд.), Цамбридге Университy Пресс 
• Wиддер, Давид Вернон; Wиенер, Норберт (август 1938), „Ремаркс он тхе Цлассицал Инверсион Формула фор тхе Лаплаце Интеграл”, Буллетин оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 44 (8): 573—575, Бибцоде:1994БАМаС..30..205W, дои:10.1090/с0002-9904-1938-06812-7 
• Wиенер, Норберт (1949), Еxтраполатион, Интерполатион, анд Смоотхинг оф Статионарy Тиме Сериес Wитх Енгинееринг Апплицатионс, Цамбридге, Масс.: Тецхнологy Пресс анд Јохн Wилеy & Сонс анд Цхапман & Халл 
• Wилсон, Р. Г. (1995), Фоуриер Сериес анд Оптицал Трансформ Тецхниqуес ин Цонтемпорарy Оптицс, Неw Yорк: Wилеy, ИСБН 978-0-471-30357-2 
• Yосида, К. (1968), Фунцтионал Аналyсис, Спрингер, ИСБН 978-3-540-58654-8 

Спољашње везе

• Таблес оф Интеграл Трансформс ат ЕqWорлд: Тхе Wорлд оф Матхематицал Еqуатионс.
• Ан Интуитиве Еxпланатион оф Фоуриер Тхеорy бy Стевен Лехар.
• Лецтурес он Имаге Процессинг: А цоллецтион оф 18 лецтурес ин пдф формат фром Вандербилт Университy. Лецтуре 6 ис он тхе 1- анд 2-D Фоуриер Трансформ. Лецтурес 7–15 маке усе оф ит., бy Алан Петерс
• Мориартy, Пхилип; Боwлеy, Рогер (2009). „∑ Сумматион (анд Фоуриер Аналyсис)”. Сиxтy Сyмболс. Брадy Харан фор тхе Университy оф Ноттингхам.