Kub
U aritmetici i algebri, kub broja n je njegov treći eksponent: rezultat broja pomnoženog samim sobom dva puta:
- n3 = n × n × n.
To je takođe i broj pomnožen svojim kvadratom:
- n3 = n × n2.
To je ujedno i formula za zapreminu za geometrijsku kocku sa stranom dužine n, što dovodi do imena. Inverzna operacija od pronalaženja broja čiji kub je n se zove vađenje kubnog korena od n. Ona određuje stranu kocke datog zapremine. To je takođe n podignuto na jednu-trećinu.
Oba kuba i kubni koren su neparne funkcije:
- (−n)3 = −(n3).
Kub broja ili drugog matematičkog izraza se označava pomoću eksponenta 3, na primer 23 = 8 ili (x + 1)3.
Celi brojevi
urediKubni broj, ili savršeni kub, ili samo kub, je broj koji je kub celog broja. Pozitivni savršeni kubovi do 603 su (sequence A000578 in OEIS):
13 = 1 | 113 = 1331 | 213 = 9261 | 313 = 29,791 | 413 = 68,921 | 513 = 132,651 |
23 = 8 | 123 = 1728 | 223 = 10,648 | 323 = 32,768 | 423 = 74,088 | 523 = 140,608 |
33 = 27 | 133 = 2197 | 233 = 12,167 | 333 = 35,937 | 433 = 79,507 | 533 = 148,877 |
43 = 64 | 143 = 2744 | 243 = 13,824 | 343 = 39,304 | 443 = 85,184 | 543 = 157,464 |
53 = 125 | 153 = 3375 | 253 = 15,625 | 353 = 42,875 | 453 = 91,125 | 553 = 166,375 |
63 = 216 | 163 = 4096 | 263 = 17,576 | 363 = 46,656 | 463 = 97,336 | 563 = 175,616 |
73 = 343 | 173 = 4913 | 273 = 19,683 | 373 = 50,653 | 473 = 103,823 | 573 = 185,193 |
83 = 512 | 183 = 5832 | 283 = 21,952 | 383 = 54,872 | 483 = 110,592 | 583 = 195,112 |
93 = 729 | 193 = 6859 | 293 = 24,389 | 393 = 59,319 | 493 = 117,649 | 593 = 205,379 |
103 = 1000 | 203 = 8000 | 303 = 27,000 | 403 = 64,000 | 503 = 125,000 | 603 = 216,000 |
Geometrijski gledano, pozitivan broj m je savršen kub ako i samo ako se može organizovati kub m u čvrstu i veću jedinicu, čvrsti kub. Na primer, 27 mali kubovi mogu da se organizuju u jedan veći sa pojavom Rubikove kocke, od 3 × 3 × 3 = 27.
Razlika između kubova uzastopnih celih brojeva se može izraziti na sledeći način:
- n3 − (n − 1)3 = 3(n − 1)n + 1.
ili
- (n + 1)3 − n3 = 3(n + 1)n + 1.
Ne postoji minimalni savršeni kub, jer je kub negativnog celog broja je. Na primer,(−4) × (−4) × (−4) = −64.
Dekadni sistem
urediZa razliku od savršenih kvadrata, savršeni kubovi nemaju mali broj mogućnosti za poslednje dve cifre. Osim za kub deljiv sa 5, gde samo 25, 75 i 00 mogu biti poslednje dve cifre, bilo koji par brojeva sa bilo koje dve neparne poslednje cifre može biti savršen kub. Sa parnim kubovima, postoji značajno ograničenje, za samo 00, o2, e4, o6 i e8 mogu biti poslednje dve cifre savršenog kuba (gde o označava bilo koju neparnu cifru i e bilo šta, čak i cifru). Neki kubni brojevi su takođe kvadratni brojevi; na primer, 64 je kvadratni broj (8 × 8) ai kubni broj (4 × 4 × 4). To se dešava ako i samo ako je broj savršena šesta snaga.
Poslednje cifre bilo koje treće snage su:
0 | 1 | 8 | 7 | 4 | 5 | 6 | 3 | 2 | 9 |
Međutim, lako je pokazati da većina brojevi nisu savršeni kubovi jer svi savršeni kubovi moraju imati digitalni koren 1, 8 ili 9. Štaviše, digitalni koren kuba bilo kog broja može se odrediti ostatkom koji broj daje kada se podeli 3:
- Ako je broj deljiv sa 3, njegov kub ima digitalni koren 9;
- Ako daje ostatak 1 pri deljenju sa 3, njegov kub ima digitalni koren 1;
- Ako daje ostatak 2, pri deljenju sa 3, njegov kub ima digitalni koren 8.
Upozorenje o problemu za kubove
urediSvaki pozitivan ceo broj može biti napisan kao suma od devet (ili manje) pozitivnih kubova. Ova gornja granica od devet kubova se ne može smanjiti jer, na primer, 23 može da se piše kao zbir manje od devet pozitivnih kubova:
- 23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13.
Fermatova poslednja teorema za kocke
urediJednačina x3 + y3 = z3 nema netrivijalno (npr: xyz ≠ 0) rešenje u celim brojevima. U stvari, nega u Ajnšajnovim celim brojevima.[1]
Obe ove izjave takođe važe i za jednačinu[2] x3 + y3 = 3z3.
Zbir prvih n kubova
urediZbir prvih n kubova je n-ti trougaoni broj kvadrat:
Na primer, zbir prvih 5 kubova je kvadrat 5. trougaonog broja,
Sličan rezultat se može dobiti za sumu od prvih u neparnih kubova,
ali x, y moraju zadovoljiti negativnu Pelovu jednačinu . Na primer, za y = 5 i 29, onda,
i tako dalje. Takođe, svaki paran savršen broj, osim najnižeg, je zbir prvidž 2(p−1)/2 neparnih kubova,
Zbir kubova brojeva u aritmetičkoj progresiji
urediPostoje primeri kubova brojeva u aritmetičkoj progresiji čiji zbir je kub:
sa prvim takođe poznatim kao Platonov broj. Formula F za pronalaženje zbira n kubova brojeva u aritmetičkoj progresiji sa zajedničkom razlikom d i početnim kubom a3,
je data kao
Parametarsko rešenje za
je poznato za poseban slučaj d = 1, ili uzastopne kubove, ali samo sporadična rešenja su poznata za ceo broj d > 1, kao za d = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39, itd.[3]
Kubovi kao sume uzastopnih celih neparnih brojeva
urediU nizu neparnih celih brojeva 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., prvi je kub (1 = 13); zbir sledeća dva je kub (3+5 = 23); zbir sledeća tri je sledeći kub (7+9+11 = 33); i tako dalje.
Za racionalne brojeve
urediSvaki pozitivan racionalan broj je zbir tri pozitivna racionalna kuba,[4] a tu su i racionalni koji nisu zbir dva racionalna kuba.[5]
U realnim brojevima, drugim poljima, i prstenovima
urediU realnim brojevima, funkcija kuba čuva red: veći broj ima veći kub. Drugim rečima, kub (strogo) monotono raste. Takođe, njegov kodomen je cela realna linija: funkcija x ↦ x3 : R → R je surjekcija (uzima sve moguće vrednosti). Samo tri broja su jednaka sopstvenim kubovima: −1, 0, i 1. If −1 < x < 0 ili 1 < x, onda x3 > x. Ako je x < −1 ili 0 < x < 1, onda x3 < x. Svi navedeni osobine odnose se i na bilo koji veći neparan vlasti (x5, x7, …) realnih brojeva. Ravnopravnost i nejednakosti su takođe istinite u svakom naručenom prstenu.
Mnogo sličnih Euklidskih stereometara su povezani kao kubovi njihovih linearnih veličina.
U kompleksnim brojevima, kub imaginarnog broja je takođe imaginaran. Na primer, i3 = −i.
Izov od x3 je3x2.
Kocke povremeno imaju surjektivnu imovinu u drugim oblastima, kao što su Fp za osnovni p koji p ≠ 1 (mod 3),[6] ali ne obavezno: pogledajte primer sa racionalnim brojevima gore. Takođe u F7 samo tri elementa 0, ±1 su savršeni kubovi, od ukupno sedam. −1, 0, i 1 su savršeni kubovi bilo gde i i jedini elementi polja jednaki svojim kubovima : x3 − x = x(x − 1)(x + 1).
Istorija
urediOdređivanje kubova velikih brojeva je bilo vrlo često u mnogim drevnim civilizacijama. Mesopotamski matematičari su stvorio kunform tablete sa tabelama za izračunavanje kuba i kubnog koreni u Starom vavilonskom periodu (20. do 16. veka pre nove ere).[7][8] Kubne jednačine su poznate po antičko-grčkom matematičar Diofant.[9] Heron je osmislio metod za izračunavanje kvradratnog korena u 1. veku nove ere[10] Metode za rešavanje kubnih jednačina i vađenje kubnih korena se pojavljuju u Devet poglavlja o matematičkoj umetnosti, tekst kineskog matematičara sastavljen oko 2. veka pre nove ere i komentarisan od strane Liu Hui-a u 3. veku naše ere.[11] Indijski matematičar Ariabhata napisao objašnjenje kuba u svom radu Ariabhatia. 2010. Alberto Zanoni je pronašao novi algoritam[12] za izračunavanje kuba velikog celog broja u određenom opsegu, brže nego kvadriraj-i-množi.
Vidi još
urediReference
uredi- ^ Hardy & Wright, Thm. 227
- ^ Hardy & Wright, Thm. 232
- ^ "A Collection of Algebraic Identities"[mrtva veza].
- ^ Hardy & Wright, Thm. 234
- ^ Hardy & Wright, Thm. 233
- ^ The multiplicative group of Fp is cyclic of order p − 1, and if it is not divisible by 3, then cubes define a group automorphism.
- ^ Cooke, Roger (8. 11. 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. str. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
- ^ Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia . Greenwood Publishing Group. str. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.
- ^ Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich. 1983. ISBN 978-0-387-12159-8.
- ^ Smyly, J. Gilbart (1920). „Heron's Formula for Cube Root”. Hermathena. Trinity College Dublin. 19 (42): 64—67. JSTOR 23037103.
- ^ Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. str. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.
- ^ A New Algorithm for Long Integer Cube Computation with Some Insight into Higher Powers - Springer[mrtva veza]
Literatura
uredi- Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980). „An Introduction to the Theory of Numbers” (Fifth izd.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5.