Rezonanca

Rritja e amplitudës kur amortizimi zvogëlohet dhe frekuenca i afrohet frekuencës rezonante të një oshilatori të thjeshtë harmonik të amortizuar .

Në fizikë, rezonanca i referohet një klase të gjerë fenomenesh që lindin si rezultat i përputhjes së periodave kohore ose hapësinore të objekteve lëkundëse. Për një sistem dinamik oshilator të drejtuar nga një forcë e jashtme që ndryshon në kohë, rezonanca ndodh kur frekuenca e forcës së jashtme përkon me frekuencën natyrore të sistemit. Rezonanca mund të ndodhë në sisteme të ndryshme, të tilla si sisteme mekanike, elektrike ose akustike, dhe është e dëshirueshme në disa zbatime, si instrumentet muzikore ose marrësit e radios. Rezonanca mund të jetë gjithashtu e padëshirueshme, duke çuar në dridhje të tepërta apo edhe dështim strukturor në disa raste.

Të gjitha sistemet, duke përfshirë sistemet molekulare dhe grimcat, priren të dridhen në një frekuencë natyrore në varësi të strukturës së tyre; kjo frekuencë njihet si frekuencë rezonante ose frekuencë rezonance . Kur një forcë lëkundëse, një dridhje e jashtme, zbatohet në një frekuencë rezonante të një sistemi dinamik, objekti ose grimce, dridhja e jashtme do të bëjë që sistemi të lëkundet në një amplitudë më të lartë (me më shumë forcë) sesa kur zbatohet e njëjta forcë. në frekuenca të tjera jo rezonante.

Fenomenet e rezonancës ndodhin me të gjitha llojet e dridhjeve ose valëve : ka rezonancë mekanike, rezonancë orbitale, rezonancë akustike, rezonancë elektromagnetike, rezonancë magnetike bërthamore (NMR), rezonancë e rrotullimit të elektronit (ESR) dhe rezonancë të funksioneve të valëve kuantike. Sistemet rezonante mund të përdoren për të gjeneruar dridhje të një frekuence specifike (p.sh. instrumente muzikore ), ose për të zgjedhur frekuenca specifike nga një dridhje komplekse që përmban shumë frekuenca (p.sh. filtra).

Sistemet lineare

Lëkundësi harmonik i drejtuar, i amortizuar

Konsideroni një masë të amortizuar në një sustë të drejtuar nga një forcë sinusoidale, e aplikuar nga jashtë. Ligji i dytë i Njutonit merr formënStampa:NumBlk$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}\sin(\omega t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$

ku m është masa, x është zhvendosja e masës nga pika e ekuilibrit, F₀ është amplituda e lëvizjes, ω është frekuenca këndore e lëvizjes, k është konstanta e sustës dhe c është koeficienti i amortizimit viskoz. Kjo mund të rishkruhet në formëStampa:NumBlk${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F_{0}}{m}}\sin(\omega t)$

ku

• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$ quhet frekuenca këndore e paamortizuar e oshilatorit ose frekuenca natyrore ,
• $\zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}$ quhet raporti i amortizimit .

Shumë burime gjithashtu i referohen ω ₀ si frekuencë rezonante . Megjithatë, siç tregohet më poshtë, kur analizohen lëkundjet e zhvendosjes x(t), frekuenca rezonante është afër, por jo e njëjtë me ω₀ . Në përgjithësi, frekuenca rezonante është afër por jo domosdoshmërisht e njëjtë me frekuencën natyrore. Shembulli i qarkut RLC në pjesën tjetër jep shembuj të frekuencave të ndryshme rezonante për të njëjtin sistem.

Është e mundur të shkruhet zgjidhja e gjendjes së qëndrueshme për x(t) si një funksion proporcional me forcën lëvizëse me një ndryshim fazor të induktuar φ ,Stampa:NumBlk$x(t)={\frac {F_{0}}{m{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}}\sin(\omega t+\varphi )$

ku $\varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi .$

Ndryshim në gjendje të qëndrueshme të amplitudës me frekuencë relative $\omega /\omega _{0}$ dhe amortizimi $\zeta$ i një lëkundësi të thjeshtë harmonik të drejtuar

Lavjerrësi

Për lavjerrësit e tjerë harmonikë me lëvizje, të amortizuar, ekuacionet e lëvizjes së të cilëve nuk duken tamam si masa në shembullin e pranverës, frekuenca rezonante mbetet $$\omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}},$$ por përkufizimet e ω ₀ dhe ζ ndryshojnë në bazë të fizikës së sistemit. Për një lavjerrës me gjatësi ℓ dhe kënd të vogël zhvendosjeje θ, ekuacioni ( 1 ) bëhet $$m\ell {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}\sin(\omega t)-mg\theta -c\ell {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}$$dhe prandaj

• $\omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{\ell }}},$
• $\zeta ={\frac {c}{2m}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.$

Qarqet në seri RLC

Një qark në seri RLC

Konsideroni një qark të përbërë nga një rezistencë me rezistencë R, një induktor me induktivitet L dhe një kondensator me kapacitet C të lidhur në seri me rrymën i(t) dhe i drejtuar nga një burim tensioni me tension vin(t). Rënia e tensionit rreth qarkut është:

$L{\frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+V(0)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}i(\tau )d\tau =v_{\text{in}}(t)$

Në vend që të analizohet një zgjidhje kandidate për këtë ekuacion, si në masën në shembullin e sustave të mësipërme, ky seksion do të analizojë përgjigjen e frekuencës së këtij qarku. Marrja e transformimit të Laplasit të ekuacionit ( 4 ), $$sLI(s)+RI(s)+{\frac {1}{sC}}I(s)=V_{\text{in}}(s),$$ ku I(s) dhe Vi_n(s) janë transformimi Laplace i rrymës dhe tensionit të hyrjes, përkatësisht, dhe s është një parametër kompleks i frekuencës në domenin Laplace. Riorganizimi i kushteve, $$I(s)={\frac {s}{s^{2}L+Rs+{\frac {1}{C}}}}V_{\text{in}}(s).$$