Трансцендентное число

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcens — переходить за предел, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю). Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.

Свойства

Все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. С точки зрения теории множеств, трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических: множество трансцендентных чисел континуально, а множество алгебраических счётно.

Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число ${\sqrt {2}}$ — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения $x^{2}-2=0$ (и потому является алгебраическим).

В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем, трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.

1. Если $t$ — трансцендентное число, то $-t$ и $1/t$ также трансцендентны.
2. Если $a$ — ненулевое алгебраическое число, а $t$ — трансцендентное число, то $a\pm t,\ at,\ a/t,\ t/a$ трансцендентны.
3. Если $t$ — трансцендентное число, а $n$ — натуральное число, то $t^{\pm n}$ и ${\sqrt[{n}]{t}}$ трансцендентны.

Мера иррациональности почти всякого (в смысле меры Лебега) трансцендентного числа равна 2.

Примеры трансцендентных чисел

• Число $\pi$ (Ф. фон Линдеман, 1882).
• Число $e$ (Ш. Эрмит, 1873).
• Постоянная Гельфонда $e^{\pi }$ (А. О. Гельфонд, 1934).
• $\pi +e^{\pi }$, $\pi e^{\pi }$ (Ю. В. Нестеренко, 1996).
• Десятичный логарифм любого натурального числа, кроме чисел вида $10^{n}$.
• $\sin a,\cos a$ и $\mathrm {tg} \,a$, для любого ненулевого алгебраического числа $a$ (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).

История

См. также: Теория трансцендентных чисел

Впервые понятие трансцендентного числа (и сам этот термин) ввёл Леонард Эйлер в труде «De relation inter tres pluresve quantitates instituenda» (1775 год). Эйлер занимался этой темой ещё в 1740-е годы; он заявил, что значение логарифма $\log _{a}{b}$ для рациональных чисел $a,b$ не является алгебраическим («радикальным», как тогда говорили), за исключением случая, когда $b=a^{c}$ для некоторого рационального $c.$ Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века.

Существование трансцендентных чисел доказал Жозеф Лиувилль в 1844 году, когда опубликовал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью. Лиувилль построил конкретные примеры («числа Лиувилля»), ставшие первыми примерами трансцендентных чисел.

В 1873 году Шарль Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов. В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа $\pi$ и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если $a\neq 0,1$, $a$ — алгебраическое число, и $b$ — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что $a^{b}$ — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число $2^{\sqrt {2}}$. Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Вариации и обобщения

В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

Существует аналог теории трансцендентных чисел для многочленов с целочисленными коэффициентами, определённых на поле p-адических чисел.

Некоторые открытые проблемы

• Неизвестно, является ли число $\ln \pi$ рациональным или иррациональным, алгебраическим или трансцендентным.
• Неизвестна мера иррациональности для чисел $\ln 2,\ln 3$.

См. также

• Кольцо периодов
• Степень трансцендентности

Литература

• Спринджук В. Г. Трансцендентное число // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — С. 426—427. — 1248 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант. — 1983. — № 7. — С. 2—7.