Суперкорень

В математике суперко́рень — это одна из двух обратных функций тетрации.

Так же как возведение в степень имеет две обратных функции (корень и логарифм), так и тетрация имеет две обратных функции: суперкорень и суперлогарифм. Это обусловлено некоммутативностью гипероператора при $N>2$. Суперкорень не является элементарной функцией.

Определение

Для любого неотрицательного целого числа $n\geqslant 0$ суперкорень $n$-ой степени из $a>0$ можно определить, как одно из решений уравнения: ${}^{n}x=a$.

График функции суперкорня второй степени

Суперкорень — неоднозначная функция. Так при $n=2$ и $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant a<1$ уравнение вида ${}^{2}x=a$ имеет два суперкорня из $a$, причём оба они будут положительны и меньше $1$. Эта двойственность значений объясняется тем, что функция $f(x)={}^{n}x$ немонотонна.

Суперкорень не всегда можно извлечь даже из положительного числа, что является следствием наличия у функций вида $f(x)={}^{n}x$ глобального минимума. Например, при $n=2$ производная функции $f(x)={}^{2}x$ имеет одну точку экстремума $x={\frac {1}{e}}$, из-за чего нахождение значений суперкорня второй степени из $x$ при $0<x<{\biggl (}{\frac {1}{e}}{\biggr )}^{\frac {1}{e}}$ становится невозможным (см. график).

Примеры

Примеры извлечения суперкорня из положительного действительного числа:

• Суперкорень четвёртой степени из 65536 равен 2, так как $2^{2^{2^{2}}}=65536;$
• Суперкорень второй степени из 27 равен 3, так как $3^{3}=27;$
• Суперкорень второй степени из ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ имеет два значения: ${\frac {1}{2}}$ и ${\frac {1}{4}}$, так как ${\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2^{2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{2\times {\frac {1}{4}}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{\frac {1}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}.$

Суперкорень второй степени и функция Ламберта

Функция суперкорня второй степени выражается через W-функцию Ламберта. А именно решением уравнения $x^{x}=a$ является

$\mathrm {ssrt} (a)=e^{W(\mathrm {ln} (a))}$.

Так как функция Ламберта $W(z)$ является многозначной функцией на интервале $(-{\frac {1}{e}},0)$, то и извлечения суперкорня второй степени является неоднозначной на $(e^{-1/e},1)$.

Открытые проблемы

• Ни для какого целого $n>3$ неизвестно, является ли корень уравнения ${}^{n}x=2$ рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

Ссылки

• Сайт про тетрацию Эндрю Робинса.
• Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера.
• Форум по обсуждению тетрации.
• Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.