Константа Коморника — Лорети

В математической теории нестандартных позиционных систем счисления константа Коморника — Лорети — это математическая константа, представляющая наименьшее основание q, для которого число 1 имеет уникальное представление, называемое его q-разверткой. Константа названа в честь Вилмоса Коморника и Паолы Лорети, которые дали ей определение в 1998 году.

Определение

Для действительного числа $q>1$ ряд

$x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n}$

называется q-расширением или $\beta$ -расширение, положительного действительного числа x, если для всех $n\geq 0$, $0\leq a_{n}\leq \lfloor q\rfloor$, где $\lfloor q\rfloor$ — целая функция, а $a_{n}$ не обязательно должно быть целым числом. Любое действительное число $x$ такое, что $0\leq x\leq q\lfloor q\rfloor /(q-1)$ имеет такое расширение, которое можно найти с помощью жадного алгоритма.

Особый случай: $x=1$, $a_{0}=0$ и $a_{n}=0$ или $1$ иногда называют q-разработкой. $a_{n}=1$ дает только 2-развертку. Однако почти для всех $1<q<2$ существует бесконечное количество различных q-разработок. Ещё более удивительно то, что существуют исключительные $q\in (1,2)$, для которых существует только одна q-разработка. Кроме того, существует наименьшее число $1<q<2$, известное как константа Коморника — Лорети, для которого существует уникальная q-развертка.

Значение

Константа Коморника — Лорети — это значение q, такое что

$1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k}}}$

где $t_{k}$ — последовательность Морса — Туэ, то есть $t_{k}$ — четность числа единиц в двоичном представлении $k$. Имеет приблизительное значение

$q=1.787231650\ldots .\,$

Константа $q$ также является единственным положительным вещественным корнем

$\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{2^{k}}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{-1}-2.$

Эта константа трансцендентна.

См. также

• Постоянная Эйлера — Маскерони
• Последовательность Рудина — Шапиро
• Слово Фибоначчи