Парабола: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Progen2 (обсуждение | вклад) Формулировка определения |
Progen2 (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 27: | Строка 27: | ||
}} |
}} |
||
}} |
}} |
||
'''Пара́бола''' ({{lang-el|παραβολή}} — приближение<ref>{{cite web|title=Парабола|url=http://www.inslov.ru/html-komlev/p/parabola.html|website=Словарь иностранных слов|accessdate=2021-06-19|archive-date=2020-01-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20200114224832/http://inslov.ru/html-komlev/p/parabola.html|deadlink=no}}</ref>) — [[геометрическое место точек]] на плоскости, удалённых от данной [[прямая|прямой]] (называемой [[Директриса (геометрия)|директрисой]] параболы)на расстояние, равное таковому от данной [[Точка (геометрия)|точки]] (называемой [[коническое сечение|фокусом]] параболы). |
'''Пара́бола''' ({{lang-el|παραβολή}} — приближение<ref>{{cite web|title=Парабола|url=http://www.inslov.ru/html-komlev/p/parabola.html|website=Словарь иностранных слов|accessdate=2021-06-19|archive-date=2020-01-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20200114224832/http://inslov.ru/html-komlev/p/parabola.html|deadlink=no}}</ref>) — [[геометрическое место точек]] на плоскости, удалённых от данной [[прямая|прямой]] (называемой [[Директриса (геометрия)|директрисой]] параболы) на расстояние, равное таковому от данной [[Точка (геометрия)|точки]] (называемой [[коническое сечение|фокусом]] параболы). |
||
Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую. |
Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую. |
||
Версия от 05:28, 4 октября 2022
Парабола | |
---|---|
![]() Парабола, её фокус и директриса | |
Парабола как коническое сечение | |
Эксцентриситет | |
Уравнения | |
Другие конические сечения | |
|
Пара́бола (греч. παραβολή — приближение[1]) — геометрическое место точек на плоскости, удалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) на расстояние, равное таковому от данной точки (называемой фокусом параболы). Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую.
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Parabel_som_keglesnit.jpg/220px-Parabel_som_keglesnit.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Parabolaconstruct.svg/220px-Parabolaconstruct.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Parabolic_conic_section.svg/220px-Parabolic_conic_section.svg.png)
Вершина
Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.
Уравнения
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:
- (или , если поменять местами оси).
Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[2]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих.
Вывод |
---|
![]() Уравнение директрисы PQ: , фокус F имеет координаты Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку и , то равенство приобретает вид: После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение |
Парабола, заданная квадратичной функцией
Квадратичная функция при также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:
- где — дискриминант квадратного трёхчлена.
Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение может быть представлено в виде а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом
Общее уравнение параболы
В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:
Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант равен нулю.
Уравнение в полярной системе
Парабола в полярной системе координат с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением
где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)
Расчёт коэффициентов квадратичной функции
Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, известны координаты трёх различных точек параболы то его коэффициенты могут быть найдены так:
Если же заданы вершина и старший коэффициент , то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:
Свойства
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/Parabel_2.svg/220px-Parabel_2.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Parabola_with_focus_and_directrix.svg/220px-Parabola_with_focus_and_directrix.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Parabola_with_focus_and_arbitrary_line.svg/220px-Parabola_with_focus_and_arbitrary_line.svg.png)
- Парабола — кривая второго порядка.
- Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
- Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
- Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
- Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
- Парабола является антиподерой прямой.
- Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
- Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть Цепная линия[3].
- Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе
Связанные определения
- При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
Обобщение
Парабола есть Синусоидальная спираль при ;
Параболы в физическом пространстве
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).
Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.
При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.
Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.
При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.
Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.
Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.
-
Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
-
Падение баскетбольного мяча
-
Параболические траектории струй воды
-
Вращающийся сосуд с жидкостью
-
Парабола — антиподера прямой
Примечания
- ↑ Парабола . Словарь иностранных слов. Дата обращения: 19 июня 2021. Архивировано 14 января 2020 года.
- ↑ Александров П.С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979. — С. 69—72. — 512 с.
- ↑ Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство)/ Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.
Литература
- Бронштейн И. Парабола // Квант. — 1975. — № 4. — С. 9—16.
- Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
- Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).
- А. А. Акопян, А. В. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
Ссылки
- Статья в справочнике «Прикладная математика».
- Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
- Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
- Учебный фильм о параболе