Лемниската Бута

Лемниската Бута — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.

Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:

$(x^{2}+y^{2})^{2}-(2m^{2}+c)x^{2}+(2m^{2}-c)y^{2}=0.$

Виды

Форма кривой зависит от соотношения между параметрами $m$ и $c$. Если $c>2m^{2}$, то уравнение лемнискаты принимает вид

$(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}$, где $a^{2}=2m^{2}+c$ и $b^{2}=c-2m^{2}.$

В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

$\rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi .$

Если $c<2m^{2}$, то уравнение лемнискаты принимает вид

$(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}$, где $a^{2}=2m^{2}+c$ и $b^{2}=2m^{2}-c.$

В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

$\rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\sin ^{2}\phi .$

Частные случаи

• При $c=2m^{2}$ лемниската Бута вырождается в две окружности $x^{2}+y^{2}\pm 2mx=0.$
• При $c=0$ лемниската Бута вырождается в лемнискату Бернулли.

Свойства

• Лемниската Бута — ортогональная проекция на плоскость xOy линии пересечения поверхности параболоида $x^{2}+y^{2}=cz$ с поверхностью конуса $a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=c^{2}z^{2}.$
• Лемнискату Бута можно получить инверсией кривой второго порядка $a^{2}x^{2}\pm b^{2}y^{2}=k^{4}$ с центром в начале координат.

Площадь

С помощью полярного уравнения лемнискаты можно определить площадь, которую она ограничивает. Для эллиптической лемнискаты:

$2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}(a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi )d\phi ={\frac {\pi }{2}}(a^{2}+b^{2}).$

Для гиперболической лемнискаты:

$\int \limits _{0}^{\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}}}(a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\sin ^{2}\phi )d\phi ={\frac {a^{2}-b^{2}}{2}}\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}}+{\frac {ab}{2}}.$

См. также

• Лемниската Бернулли
• Лемниската Жероно
• Овал Кассини

Литература

• А. А. Савёлов. Кривые Персея // Плоские кривые: систематика, свойства, применение / под ред. А. П. Нордена. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — С. 144—146. — 294 с.
• Математическая энциклопедия / под. ред. И. М. Виноградова. — «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 1. — С. 566.
• Weisstein, Eric W. Hippopede (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Courbe de Booth (фр.)