Parábola

 Nota: Para outros significados, veja Parábola (desambiguação).

Uma parábola

Parábola (do grego: παραβολή) é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo à reta geratriz do cone, sendo que o plano não contém esta. Equivalentemente, uma parábola é a curva plana definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz). Aplicações práticas são encontradas em diversas áreas da física e da engenharia como no projeto de antenas parabólicas, radares, faróis de automóveis.

Definições e visão geral

Parábola de foco $F(p,0)$ e diretriz $x=-p$.

Equações da geometria analítica

Uma parábola é o conjunto de pontos no plano que são equidistantes de um ponto dado $F$ (foco) e uma reta dada $r$ (diretriz) que não contém $F$. Assim, em coordenadas cartesianas, uma parábola de foco $F(p,0)$ e reta diretriz $r:x=-p$ tem equação

$y^{2}=4px.$

Uma parábola é dita estar em uma posição padrão quando seu foco está sobre o eixo das abscissas ou sobre o eixo das ordenadas e sua diretriz é, respectivamente, paralela ao eixo das ordenadas ou ao eixo das abscissas. A equação de uma parábola em uma posição padrão é chamada de equação padrão. Assim, além da equação acima, temos que:

$x^{2}=4py$

é, também, uma equação padrão. Esta caracteriza uma parábola de foco $F(0,p)$ e diretriz $r:y=-p.$ De fato, por definição, $P(x,y)$ pertence à parábola se, e somente se:

$d(P,F)=d(P,r)$

onde, $d(\cdot ,\cdot )$ denota a distância euclidiana. Assim, para uma parábola de foco $F(p,0)$ e diretriz $r:x=-p,$ temos:

${\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}={\sqrt {(x+p)^{2}}}\Leftrightarrow (x-p)^{2}+y^{2}=(x+p)^{2}$

que é equivalente à equação $y^{2}=4px$. O procedimento é análogo para uma parábola de foco $F(0,p)$ e diretriz $r:y=-p,$ mostrando que, neste caso, $x^{2}=4py$.

O eixo de simetria de uma parábola é definido como a reta que passa por seu foco $F$ e é perpendicular a sua reta diretriz $r.$ O vértice de uma parábola é definido pela intersecção da parábola com seu eixo de simetria. Notemos que nas equações acima $|p|$ corresponde a distância do vértice ao foco, bem como, à diretriz.

Um gráfico mostrando as propriedade reflexivas,a diretriz (em verde), e as linhas conectando o foco e e diretriz à parábola (em azul)

Observamos que, por translação, obtemos a equação de uma parábola com vértice V$(h,k),$ foco $F(h+p,k)$ e diretriz $r:x=h-p$ por:

$(y-k)^{2}=4p(x-h).$

Analogamente, uma parábola com vértice V$(h,k),$ foco $F(h,k+p)$ e diretriz $r:y=k-p$ é descrita pela equação:

$(x-h)^{2}=4p(y-k).$

De maneira geral, uma parábola é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação irredutível de coeficientes reais da forma:

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$

com $b^{2}=ac,$ $a+c\neq 0$. O fato da equação ser irredutível significa que ela não pode ser fatorada como um produto de dois fatores lineares.

Outras definições geométricas^{[carece de fontes]}

Parábola como seção cônica.

Uma parábola também pode ser caracterizada com uma secção cônica com uma excentricidade igual a 1. Como uma consequência disso, todas as parábolas são similares.

Uma parábola também pode ser obtida como o limite de uma sequência de elipses onde um foco é mantido fixo e o outro pode se mover para uma distância cada vez maior do foco em uma direção. Desta forma, uma parábola pode ser considerada a seção do segmento de uma elipse que possui um foco no infinito. A parábola é a transformada inversa de um cardióide.

Se girarmos uma parábola através de seu eixo em um gráfico de três dimensões temos uma forma conhecida como o parabolóide de revolução.

Dedução das equações

Exemplo de uma parábola com eixo de simetria vertical.

Em coordenadas cartesianas

Eixo vertical de simetria

Estas deduções se baseiam em uma parábola com eixo vertical de simetria, com vértice $V$$(h,k)$ e distância $p$ entre o vértice e o foco. Por convenção, se o vértice estiver abaixo do foco p é positivo, caso contrário p é negativo.

Como, por definição, um ponto $P(x,y)$ na parábola dista do foco $F(h,k+p)$ tanto quanto da reta diretriz $r:y=k-p,$ podemos escrever:

$d(P,F)=d(P,r)\Rightarrow {\sqrt {(x-h)^{2}+(y-k-p)^{2}}}=|y-k+p|$

onde, $d(\cdot ,\cdot )$ denota a distância euclidiana e $|\cdot |$ denota a função valor absoluto. Lembrando que $|x|={\sqrt {x^{2}}}$ para qualquer $x$ real, temos:

$(x-h)^{2}+(y-k-p)^{2}=(y-k+p)^{2}$

$(x-h)^{2}=(y-k+p)^{2}-(y-k-p)^{2}$

$(x-h)^{2}=4p(y-k)$

a qual é a equação padrão procurada.

Comumente, esta equação aparece reescrita na forma de um trinômio do segundo grau:

$y=ax^{2}+bx+c$

onde:

$a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-h}{2p}};\ \ c={\frac {h^{2}}{4p}}+k;$ $h={\frac {-b}{2a}};\ \ k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.$

Muitas vezes é útil descrever uma parábola via equações paramétricas. Tomando $x=x(t),$ por exemplo $x(t)=2pt+h,$ e substituindo na equação padrão, obtemos $y=y(t).$ Isto nos fornece a seguinte parametrização de uma tal parábola:

$\left\{{\begin{array}{ll}x(t)=2pt+h\\y(t)=pt^{2}+k\end{array}}\right.,\quad t\in \mathbb {R} .$

Observamos que a parametrização de $x,$ i.e. $x=x(t),$ é arbitrária, sendo que diferentes escolhas levam a um conjunto diferente de equações paramétricas.

Eixo horizontal de simetria

Exemplo de uma parábola com eixo de simetria horizontal.

Analogamente, uma parábola com eixo horizontal de simetria, vértice $V(h,~k)$ e distância $p$ entre o vértice e o foco tem equação padrão:

$(y-k)^{2}=4p(x-h)$

Notemos que esta pode ser reescrita no trinômio de segundo grau:

$x=ay^{2}+by+c$

tomando:

$a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-k}{2p}};\ \ c={\frac {k^{2}}{4p}}+h;$ $h=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}};\ \ k={\frac {-b}{2a}}.$

Tomando $y=y(t)$, $y(t)=2pt+k$, e substituindo na equação padrão, obtemos as seguintes equações paramétricas para uma tal parábola:

$\left\{{\begin{array}{ll}x(t)=pt^{2}+h\\y(t)=2pt+k\end{array}}\right.,\quad \forall t\in \mathbb {R}$

Em coordenadas polares

Esboço da parábola $r(1+\cos(\theta ))=2a$ com $a=5/2$.

Em coordenadas polares, uma parábola com o foco na origem e reta diretriz $x=-2a$ é dada pela equação:

$r={\frac {2a}{1-\cos(\theta )}}$

De fato, tomando $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ e $\cos(\theta )={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ e substituindo na equação polar, obtemos:

$y^{2}=4a(x+a)$

que é a equação padrão da parábola de vértice $V(-a,0)$ e reta diretriz $x=-2a$.

Forma em coordenadas gaussianas

A forma em coordenadas gaussianas é dada por:^{[carece de fontes]}

$(\tan ^{2}\phi ,2\tan \phi )$

e possui a normal $(\cos \phi ,\mathrm {sen} \,\phi )$.

Equação Quadrática

De forma geral, uma parábola é descrita por uma equação quadrática de coeficientes reais da forma:

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$

com $b^{2}=ac$ e $a+c\neq 0$. A presença do termo cruzado $xy$ (i.e., $b\neq 0$) indica que a parábola tem eixo de simetria transversal em relação aos eixos canônicos $x,y$.

Esboço de uma parábola em posição não padrão. Aqui, $\lambda _{1}=0$, $\lambda _{2}=10$, a rotação é dada por$u=-{\frac {\sqrt {10}}{10}}x+{\frac {3{\sqrt {10}}}{10}}y$ e $v={\frac {3{\sqrt {10}}}{10}}x+{\frac {\sqrt {10}}{10}}y$ e a translação é dada por $u'=u+2$ e $v'=v-1$.

Tal equação pode ser escrita na seguinte forma matricial:

$\mathbf {x} ^{T}A\mathbf {x} +\mathbf {b} \mathbf {x} +f=0$

onde $\mathbf {x} =\left[{\begin{array}{l}x\\y\end{array}}\right]$ é o vetor real bidimensional das incógnitas,

$A=\left[{\begin{array}{ll}a&b\\b&c\end{array}}\right]$

é uma matriz real simétrica de autovalores reais $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$, sendo exatamente um deles nulo,

$\mathbf {b} =\left[d~~e\right]$

é o vetor real bidimensional, e $f$ é um escalar real.

Rotação

Uma parábola cujo eixo de simetria não é paralelo ao eixo das abscissas nem ao eixo das ordenadas pode ser descrita como uma rotação de uma parábola em uma posição padrão. Notemos que a matriz $A$ é ortogonalmente diagonalizável, i.e.:

$P^{T}AP=\left[{\begin{array}{ll}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{array}}\right]$

onde $P=\left[\mathbf {v} _{1}~~\mathbf {v} _{2}\right]$ é a matriz ortogonal, cujas colunas são autovetores $\mathbf {v} _{1}$, $\mathbf {v} _{2}$ associados aos autovalores $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$, respectivamente.

Fazendo a mudança de variável:

$\mathbf {x} =P\mathbf {y} ,\quad \mathbf {y} =\left[{\begin{array}{l}u\\v\end{array}}\right]$,

podemos escrever a equação da parábola nas novas variáveis $u,v$ como:

$\mathbf {y} ^{T}\left(P^{T}AP\right)\mathbf {y} +\left(\mathbf {b} P\right)\mathbf {y} +f=0$

a qual representa uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo $u$, dado pelo autovetor $\mathbf {v_{1}}$, ou ao eixo $v$, dado pelo autovetor $\mathbf {v} _{2}$.

Translação

Uma parábola de vértice $V(h,k)$ pode ser vista como uma translação de uma parábola de vértice na origem. Ou seja, fazendo a mudança de variável:

$\mathbf {z} =\left[{\begin{array}{l}u'\\v'\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{l}u\\v\end{array}}\right]-P^{T}\left[{\begin{array}{l}h\\k\end{array}}\right]$

obtemos a equação padrão da parábola escrita nas variáveis $u',v'$.

Propriedade Refletora

Propriedade refletora de uma parábola.

Para uma superfície parabólica que seja construída com material reflexivo, um feixe de partículas paralelas ao eixo de simetria é direcionado para o seu foco.

De fato, consideramos, sem perda de generalidade, a parábola $x^{2}=4py$ ilustrada na figura ao lado. Nela, $F(0,p)$ denota seu foco, $A(0,0)$ seu vértice e $E(x,4py)$ o ponto de incidência de um feixe de partículas paralelo ao eixo de simetria dessa parábola. A reta paralela ao eixo de simetria que contém a trajetória da onda tem interseção com o eixo das abscissas no ponto $D(x,0)$ e com a diretriz da parábola no ponto $C(x,-p)$. Observamos que o segmento $FC$ tem interseção com o eixo das abscissas no ponto $B\left({\frac {x}{2}},0\right)$, i.e. no ponto médio entre os pontos $A$ e $D$. Por essa razão e mais o fato de que $F$ e $C$ são equidistantes do eixo das abscissas, vemos que $BEF$ e $CEB$ são triângulos congruentes. Notamos, agora, que a reta que passa pelos pontos $B$ e $E$ têm inclinação ${\text{arc tg}}\left({\frac {|DE|}{|BD|}}\right)={\text{arc tg }}(8px)$ e, portanto, é a reta tangente à parábola no ponto $E$, pois $y'=8px$ neste ponto. Assim, se $\alpha$ é o ângulo de incidência do feixe com a reta tangente no ponto $E$ (equivalentemente, com um elemento infinitesimal do comprimento do arco da parábola no mesmo ponto) , temos que o feixe é refletido pela parábola com o mesmo ângulo. Pela congruência dos triângulos $BEF$ e $CEB$, vemos que a onda refletida alcança o ponto $F$, i.e. o foco da parábola.

Aplicações práticas

Algumas aplicações dessa propriedade podem ser vistas no uso de refletores parabólicos, como para captação de som a grandes distâncias com um microfone parabólico, que utiliza o refletor para coletar e focar ondas sonoras em um transdutor, conceito similar ao da antena parabólica. Esses microfones conseguem captar sons muitos distantes na direção em que é apontado e normalmente é utilizado para gravar sons da natureza e para espionagem.

Bibliografia

• Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
• Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
• Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
• Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
• Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
• Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ver também

• Cone
• Lugar geométrico
• Movimento parabólico
• Paraboloide

Ligações externas

• MathWorld: Parabola (em inglês)
• Reginaldo J. Santos. Matrizes Vetores e Geometria Analítica
• Venturi, Jacir J. (2003). Cônicas e Quádricas (PDF) 5 ed. Curitiba: Unificado. 246 páginas. ISBN 8585132485 
• Vídeo 3D de um plano seccionando um cone e definindo a curva cônica parábola