Um paralelogramo é um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos e lados opostos congruentes.[1][2]

Um paralelogramo.

Definição

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Paralelogramo   e suas diagonais   e  .

Um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo cujos lados opostos são paralelos. Um paralelogramo também é qualquer retângulo que passou pelo processo de Transformação de cisalhamento em geometria plana.

Elementos

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Um paralelogramo   tem:[1][2]

  • quatro lados - os segmentos de reta  ,  ,   e  ;
  • quatro vértices - os pontos  ,  ,   e  ;
  • quatro ângulos internos - os ângulos  ,  ,  ,  ;
  • quatro ângulos externos - os respectivos ângulos suplementares dos ângulos internos;
  • duas diagonais - os segmentos de reta   e  .

Propriedades

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Um paralelogramo possui:[1][2]

  1. lados opostos congruentes;
  2. ângulos opostos congruentes;
  3. suas diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios;
  4. ângulos colaterais suplementares;
  5. a soma dos ângulos internos igual a  ;
  6. a soma dos ângulos externos igual a  ;

Observamos que todo quadrilátero convexo plano que possui uma das propriedades 1., 2. ou 3. é um paralelogramo. Existe, portanto, uma reciprocidade em relação a cada uma destas propriedades com a definição de paralelogramo dada acima.

Além disso, notamos que qualquer diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

Demonstrações das propriedades[1]

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Paralelogramo: ângulos e lados opostos congruentes.

1. Lados opostos congruentes

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Dado o paralelogramo  , mostraremos que   e  . Para tanto, traçamos a diagonal  . Como   e  , tomando   como transversal temos que   (alternos internos) e   (alternos internos). Assim, pelo caso de congruência de triângulos ângulo, lado, ângulo (ALA) temos:

 
Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero   convexo plano, cujos lados opostos sejam congruentes é um paralelogramo. Com efeito, pela congruência de triângulos lado-lado-lado (LLL), temos que   e  , implica  . Logo, são congruentes os ângulos   e  , o que implica  . Um raciocínio análogo mostra que  . Ou seja, lados opostos congruentes implica lados opostos paralelos. Isso conclui esta demonstração.

2. Ângulos opostos congruentes

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Dado o paralelogramo  , mostraremos que   e  . A partir da demostração anterior temos que:

 

e

 .

Como   então substituindo (2) em (3) temos:

 .

E, temos ainda  , que usando (1) fornece:

 .

De (3) e (4), concluímos que  . Para o caso   o raciocínio é análogo.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero   convexo plano, cujos ângulos opostos são congruentes é um paralelogramo. Com efeito, temos   e  , logo  . Como  , segue que  . Portanto,  . Um raciocínio análogo prova que  . Isso completa a prova.

3. Diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios

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Diagonais se intersectam no ponto médio.

Seja   um paralelogramo e consideremos suas diagonais   e  . Denotamos por   a interseção destas diagonais. Como   e   são paralelas, temos que os ângulos   e   são congruentes (ângulos alternos internos). Pelo mesmo motivo, são congruentes os ângulos   e  . Como   e   são congruentes, pela congruência ângulo-lado-ângulo (ALA) de triângulos, temos que:

 

Assim temos que   é ponto médio de   e  , logo   é ponto médio e intersecção das diagonais.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero   plano convexo, cujas diagonais interceptam-se nos seus pontos médios é um paralelogramo. Com efeito, seja   o ponto de interseção das diagonais   e  . Como  ,   e  , temos da congruência de triângulos lado-ângulo-lado (LAL) que  . Donde seque que  . Analogamente, vemos que  . Agora, da recíproca da propriedade 1. (lados opostos congruentes), temos que os lados opostos são paralelos, como queríamos demonstrar.

4. Ângulos consecutivos suplementares

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Demonstração da propriedade

Seja   um paralelogramo. Mostraremos que os ângulos consecutivos   e   são suplementares. Com efeito, como   e   são paralelas e   é uma transversal, temos que   (1) (ângulos correspondentes). Vemos, imediatamente, que   e   são suplementares, ou seja:

  (2)

e substituindo (1) em (2) temos:

 

como queríamos demonstrar. As demonstrações para os demais ângulos consecutivos são análogas.

5. Soma dos ângulos internos

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Segue imediatamente da propriedade 4. que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é  .

6. Soma dos ângulos externos

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Uma vez que em um paralelogramo os lados opostos são paralelos e os ângulos internos consecutivos são suplementares, temos que os ângulos externos consecutivos também são suplementares. Como são quatro, temos que a soma dos ângulos externos é  .

Perímetro

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Denotando por   e   os comprimentos de dois de seus lados não-paralelos, seu perímetro pode ser calculado através da fórmula abaixo:

 
 
Paralelogramo de base   e altura  .

A área de um paralelogramo é dada por:[1]

 

onde,   é o comprimento de qualquer um de seus lados e   é a altura relativa a este lado, i.e. o comprimento do segmento de reta perpendicular que liga este lado ao seu oposto.

Equivalentemente, temos:[2]

 

onde,   e   são os comprimentos de dois lados adjacentes e   é o ângulo definido por estes lados.

Ou, ainda, a área pode ser calculado por:

 
 
Paralelogramo  , sendo   o ponto de interseção de suas diagonais   e  .

onde,   e   são os comprimentos das diagonais do paralelogramo e   é um dos ângulos definido pela interseção das diagonais. Com efeito, seja   um paralelogramo (veja figura ao lado). Suas diagonais se interceptam em um ponto   determinando quatro triângulos  ,  ,  ,  . Do fato de que lados opostos de um paralelogramo serem congruentes e de que   é ponto médio de ambas diagonais, temos que os triângulos   e   são congruentes, assim como os triângulos   e  . Notamos que a área do paralelogramo é a soma das áreas dos quatro triângulos. Ou seja, denotando por   e   os comprimentos das diagonais   e  , respectivamente, temos:

 

Aqui,   é o menor ângulo definido pelas diagonais. Temos utilizado que a área de um triângulo   pode ser calculada por:[1]

 .

Por fim, como  , segue o resultado desejado.

Ver também

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Existem três paralelogramos especiais:

Referências

  1. a b c d e f Dolce, O.; et al. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar Volume 9 - Geometria Plana 9 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535716863 
  2. a b c d Bronshtein, I.N.; et al. (2007). Handbook of Mathematics 5 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 9783540721215