Ansem

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

As ciama ansem na colession o cujìa d'oget, o element.

Për denoté che n'oget a a l'é element ëd n'ansem A a së scriv

a\in A

.

Si nopà a a l'é nen n'element d'A, i scrivoma

a\notin A

.

An costa concession antuitiva, n'ansem a l'é definì da j'element ch'a lo compon-o; sòn a veul dì che si A e B a son d'ansem con ij midem element, antlora A=B.

Antra tuti j'ansem a-i në j'é un sensa element: a l'é ciamà ansem veuid e denotà $\emptyset$ .

Arpresentassion dj'ansem

Na manera për arpresenté n'ansem a l'é cola ëd buté antra paréntesi grafe na lista dij sò element: për esempi,

A={0,1,2,3}.

Costa a l'é 'dcò dita arpresentassion tabular ëd l'ansem.

N'ansem {a} formà da n'element sol as dis ëdcò singolèt; n'ansem {a,b} con doi element a l'é ëdcò ciamà cobia.

Sot-ansem

Si A e B a son d'ansem e minca element d'A a l'é ëdcò n'element ëd B, antlora as dis che A a l'é un sot-ansem ëd B (A a l'é contnù an B), lòn ch'as denòta

A\subseteq B

.

Si A a l'é nen contnù an B, i podoma scrive

A\nsubseteq B

.

La relassion $\subseteq$ as ciama anclusion. A l'ha le propietà sì-dapress:

riflessività: $A\subseteq A$ ;
transitività: $A\subseteq B\wedge B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$ ;
anti-simetrìa: $A\subseteq B\wedge B\subseteq A\Rightarrow A=B$ .

Esempi

$\emptyset \subseteq A$ për qualsëssìa ansem A.
$\{1,2,4\}\subseteq \{1,2,3,4\};\{1\}\subseteq \{1,2\}$ .
L'ansem dij nùmer naturaj cobi a l'é 'n sot-ansem ëd l'ansem dij nùmer naturaj.

Operassion antra ansem

Fissà j'ansem A e B, as peulo fabriché an manera natural d'àutri ansem:

L'union $A\cup B$ d'A e B.
L'antërsession $A\cap B$ d'A e B.
Ël prodot cartesian $A\times B$ d'A e B.
As ciama diferensa d'A e B, denotà A-B (o $A\setminus B$ ) l'ansem ëd coj element ch'a aparten-o a A ma pa a B. Si, an particolar, $B\subseteq A$ , l'ansem A-B a l'é ëdcò dit complementar ëd B andrinta a A.

Esempi

Fissoma A={4,5,6,7},B={2,3,4,7}. Antlora:

$A\cup B=\{2,3,4,5,6,7\}$ ,
$A\cap B=\{4,7\}$ ,
A-B={5,6},
B-A={2,3}.

Propietà

Antra le propietà dj'operassion antra ansem a-i son cole sì-dapress:

$A\cup B=B\cup A$ , $A\cap B=B\cap A$ ,
$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ , $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ ,
$A\subseteq A\cup B$ , $B\subseteq A\cup B$ ,
$A\cap B\subseteq A$ , $A\cap B\subseteq B$ ,
$A\cup B=A\Leftrightarrow B\subseteq A$ ,
$A\cap B=A\Leftrightarrow A\subseteq B$ ,
$A\cup A=A$ , $A\cap A=A$ ,
$A\cup \emptyset =A$ , $A\cap \emptyset =\emptyset$ ,
$A-\emptyset =A$ , $A-A=\emptyset$ .

A gropé le doe operassion d'union e d'antërsession a-i son le propietà distributive:

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ ,
$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ .

Për esempi, për dimostré costa deriera ugualiansa, ch'as nòta dnans a tut che:

A\cap B\subseteq A,A\cap C\subseteq A

,

A\cap B\subseteq B\cup C,A\cap C\subseteq B\cup C

,

e donca

(A\cap B)\cup (A\cap C)\subseteq A\cap (B\cup C)

.

Për l'àutra diression, ch'as consìdera un qualsëssìa $x\in A\cap (B\cup C)$ . Antlora $x\in A$ e o bin $x\in B$ opura $x\in C$ . Ant ël prim cas, $x\in A\cap B$ , ant ël second, $x\in A\cap C$ . Comsëssìa, $x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$ .