Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)

Twierdzenie Lagrange’a – twierdzenie teorii grup mówiące, że w grupie skończonej rząd dowolnej jej podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, tzn. zachodzi równość

$|G|=|G:H|\cdot |H|,$

gdzie $|G:H|$ oznacza indeks podgrupy $H$ w $G,$ zaś $|G|,|H|$ odpowiednio rząd grupy i podgrupy.

Wynik nosi nazwisko Josepha Louisa Lagrange’a.

Dowód

Niech $G$ będzie grupą skończoną. Zbiór warstw lewostronnych $\{gH:g\in G\}$ grupy $G$ względem podgrupy $H$ stanowi rozbicie zbioru $G$ na $n=|G:H|$ równolicznych ze zbiorem $H$ zbiorów: $g_{1}H,g_{2}H,\dots ,g_{n}H.$

W ten sposób

$G=g_{1}H\cup g_{2}H\cup \ldots \cup g_{n}H,$

a skoro poszczególne warstwy są rozłączne, to

$|G|=|g_{1}H|+|g_{2}H|+\ldots +|g_{n}H|,$

przy czym wszystkie warstwy są równoliczne z $H,$ co oznacza, że

$|G|=|H|+|H|+\ldots +|H|=n|H|,$

zatem

$|G|=|G:H|\cdot |H|.$

Wnioski i uwagi

• Rząd dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzędu grupy (wynika to wprost z definicji rzędu). W szczególności, dla dowolnego elementu $g$ danej grupy $G$ prawdziwa jest równość $g^{n}=e,$ gdzie $e$ jest elementem neutralnym grupy, a $n$ oznacza jej rząd.
• Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest ona grupą cykliczną.
• Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a nie jest prawdziwe, tzn. nie gwarantuje, że dla każdego dzielnika rzędu grupy istnieje podgrupa, której rząd jest równy danemu dzielnikowi.

Najmniejszym przykładem jest grupa alternująca $A_{4}.$ Choć dzielnikami rzędu grupy $A_{4}$ są $1,2,3,4,6,12,$ to grupa $A_{4}$ zawiera jako podgrupy wyłącznie: $1$-elementową grupę trywialną, trzy $2$-elementowe i cztery $3$-elementowe grupy cykliczne, $4$-elementową grupę niecykliczną oraz $12$-elementową grupę niewłaściwą; w szczególności nie ma podgrupy $6$-elementowej.

Częściowym rozwiązaniem problemu istnienia podgrup danego rzędu są twierdzenie Cauchy’ego oraz twierdzenia Sylowa. W ogólności nie ma prostego sposobu na podział grup skończonych na te, które spełniają twierdzenie odwrotne i te, które go nie spełniają. Można jednak wyróżnić trzy klasy grup skończonych, które spełniają twierdzenie odwrotne: grupy abelowe, grupy diedralne i grupy pierwsze (są one przypadkami szczególnymi grup superrozwiązalnych, dla których twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a zachodzi).

• Twierdzenie to rozumiane jako stwierdzenie o liczbach kardynalnych jest równoważne aksjomatowi wyboru.

Uogólnienia

Twierdzenie

Jeżeli $G$ jest skończona oraz $K\leqslant H\leqslant G,$ to zachodzi

$|G:K|=|G:H|\cdot |H:K|.$

Dowód

Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że

$|G|=|G:K|\cdot |K|=|G:H|\cdot |H|$

oraz

$|H|=|H:K|\cdot |K|,$

skąd

$|G:K|\cdot |K|=|G:H|\cdot |H:K|\cdot |K|.$

Zobacz też

• twierdzenie Cauchy’ego
• twierdzenia Sylowa