Pole tensorowe

Pole tensorowe – pole, które każdemu punktowi przestrzeni $n$-wymiarowej przypisuje pewien tensor. Pole tensorowe jest opisywane przez $N=n^{r}$ funkcji o $n$ zmiennych, gdzie $r$ – rząd tensora, czyli liczba jego indeksów.

Oznaczenia pól tensorowych

Funkcje, za pomocą których opisuje się pole tensorowe, zazwyczaj oznacza się symbolami z ciągiem indeksów, np. w postaci

$A^{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}},$ ${}\quad \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}=1,\dots ,n$

gdzie $r$ – jest rzędem tensora. Liczba funkcji wynosi $N=n^{r}.$

Wartości $A^{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}}(x_{1},\dots ,x_{r})$ funkcji pola tensorowego w danym punkcie $(x_{1},\dots ,x_{n})$ przy ustalonych wartościach indeksów nazywa się współrzędnymi tensora w tym punkcie.

Np. w przestrzeni $3$-wymiarowej tensor 2. rzędu jest reprezentowany przez zespół $n^{r}=3^{2}=9$ funkcji postaci $A^{\alpha _{1},\alpha _{2}}(x,y,z),$ które mają $2$ indeksy; funkcje te reprezentuje się zazwyczaj za pomocą macierzy $3\times 3$ ${\begin{aligned}\mathbf {A} (x,y,z)&={\begin{bmatrix}A^{11}(x,y,z)&A^{12}(x,y,z)&A^{13}(x,y,z)\\A^{21}(x,y,z)&A^{22}(x,y,z)&A^{23}(x,y,z)\\A^{31}(x,y,z)&A^{32}(x,y,z)&A^{33}(x,y,z)\end{bmatrix}}\end{aligned}},$

a np. wartość $A^{1,2}(x,y,z)$ jest współrzędną 1,2 tensora w punkcie $(x,y,z).$

Szczególne przypadki pól tensorowych

• pola skalarne – pola, które punktom przestrzeni przypisują pojedyncze liczby (tensor zerowego rzędu jest skalarem)
• pola wektorowe – pola, które punktom przestrzeni przypisują wielkości wektorowe (tensor pierwszego rzędu jest wektorem)

Twierdzenia

Tw. 1: Pole gradientu pola skalarnego jest polem wektorowym.

Tw. 2: Pole pochodnych cząstkowych pola wektorowego jest polem tensorowym (w niekrzywoliniowym układzie współrzędnych).

Zobacz też

Zagadnienia związane z pojęciem pola tensorowego

• iloczyn skalarny
• iloczyn tensorowy
• iloczyn wektorowy
• teoria pola
• współrzędne tensora

Przykłady tensorów

• tensor energii-pędu
• tensor metryczny
• tensor naprężeń
• tensor pola elektromagnetycznego

Bibliografia

• P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974.