Naprężenie
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Plastic_Protractor_Polarized_05375.jpg/200px-Plastic_Protractor_Polarized_05375.jpg)
Naprężenie – w mechanice ośrodków ciągłych jest wielkością fizyczną wyrażającą siły wewnętrzne, jakie sąsiednie cząstki materiału ciągłego wywierają na siebie. Naprężenie reprezentuje równocześnie dwa kierunki: kierunek działania siły oraz kierunek orientacji powierzchni – nie jest więc ani skalarem ani wektorem, lecz tensorem drugiego rzędu.
W niektórych sytuacjach (np. jednoosiowy stan naprężenia) operować można jedynie na jednej bądź dwóch składowych tensora naprężenia. Składowe te można wówczas traktować w uproszczeniu jako wielkości skalarne, a ich ‘sumę geometryczną’ jako wielkość wektorową.
Naprężenie stanowi jedno z najważniejszych pojęć inżynierskich. Wyznaczanie naprężeń w poszczególnych punktach konstrukcji jest przeprowadzane w trakcie jej projektowania, gdyż naprężenia decydują o bezpieczeństwie użytkowania konstrukcji.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Naprężenie w punkcie przekroju jest wielkością określoną wzorem:
lub w wersji różniczkowej
Wektor naprężenia można rozłożyć na składową styczną i składową normalną (prostopadłą) do przekroju:
gdzie:
- – tensor naprężeń,
- – wypadkowy wektor naprężenia,
- – wypadkowy wektor elementarnych sił wewnętrznych działających na elementarną powierzchnię zorientowaną
- – powierzchnia zorientowana, na która działa siła,
- – wartość składowej normalnej (prostopadłej) do przekroju,
- – wersor normalny do powierzchni,
- – składowa styczna, ścinająca (równoległa do przekroju),
- – wersor równoległy do powierzchni.
Jednostki
[edytuj | edytuj kod]Jednostką naprężenia w układzie SI jest paskal, w skrócie Pa. W praktyce inżynierskiej stosowana jest również atmosfera techniczna (kG/cm², kG/mm²), a w Stanach Zjednoczonych funt na cal kwadratowy (pound per square inch – psi oraz kilopound per square inch – ksi). W polskim środowisku inżynierskim na 1 psi mówi się niekiedy żartobiwie ‘1 pies’.
Przeliczniki jednostek:
- 1 kG/cm² = 98066,5 Pa
- 1 psi = 6894,757 Pa
- 1 ksi = 6894757 Pa = 6,894757 MPa
Kartezjański układ współrzędnych
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Naprezenie.svg/250px-Naprezenie.svg.png)
W każdym punkcie ciała[1] można przyjąć (zaczepić) dowolnie zorientowany, kartezjański układ współrzędnych, w którym to układzie określa się składowe stanu naprężenia w tym punkcie. Wykonując trzy przekroje prostopadłe do osi przyjętego układu, można wyznaczyć, względem tych płaszczyzn, dziewięć składowych stanu naprężenia. Są to kolejno:
Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest „na zewnątrz” otoczenia punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.
Na przykład w przypadku „górnej” powierzchni sześcianu (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi można napisać:
gdzie:
- – wersor osi a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni;
- – wersory osi odpowiednio i
Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące równości:
W rozważanym punkcie ciała można tak zorientować układ współrzędnych, aby naprężenia styczne były równe zeru, a niezerowe pozostawały jedynie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające im niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne: przy czym
Wyznaczanie kierunków naprężeń głównych ma zasadnicze znaczenie na przykład przy projektowaniu elementów i konstrukcji żelbetowych, przy projektowaniu których zbrojenie rozmieszcza się zgodnie z kierunkami maksymalnych naprężeń rozciągających.
Zapis tensorowy
[edytuj | edytuj kod]Naprężenie dla danej powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia reprezentowany przez macierz zawierającą składowe stanu naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem).
Biorąc pod uwagę równowagę elementarnego sześcianu i zakładając, że nie występują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909[2]), dowodzi się, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest:
Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:
- lub
gdzie:
- – naprężenia normalne,
- – naprężenia ścinające (styczne).
Stany podstawowe
[edytuj | edytuj kod]Każdy stan naprężenia można zawsze rozłożyć na dwa stany podstawowe:
- Aksjator (tensor kulisty) – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – wywołuje tylko zmianę objętości (gęstości) ciała.
- Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – wywołuje tylko zmianę postaci ciała: sześcian zmienia się w dwuskośny równoległościan bez zmian długości krawędzi[2].
gdzie:
Niezmienniki stanu naprężenia
[edytuj | edytuj kod]Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, ma trzy niezmienniki[3], czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych
w których przez oznaczono naprężenia główne w rozważanym punkcie ciała.
- Osobny artykuł:
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- naprężenie w geologii
- odkształcenie
- prawo Hooke’a
- Występowanie tekstu „naprężenie” w tytułach artykułów i w przekierowaniach
- Artykuły i przekierowania do artykułów zaczynające się od „naprężenie”
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Rozważając stan naprężenia w punkcie ciała, jako punkt można rozumieć w tym przypadku jego otoczenie w postaci sześcianu elementarnego – czyli o nieskończenie małej krawędzi.
- ↑ a b Andrzej Gawęcki: Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych. Alma Mater, 2003, s. część 1, s. 3, 10.
- ↑ A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, 1985, s. 36.