Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Macierz Hilberta – macierz kwadratowa z elementami danymi wzorem:
![{\displaystyle h_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aded2f0a3396fb3184eea317862e749bcfac376f)
Na przykład macierz Hilberta 5 × 5 wygląda następująco:
![{\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567c159e3087bad824ec8b1ef9142a708136fd93)
Macierz Hilberta jest podręcznikowym przykładem macierzy źle uwarunkowanej. Wskaźnik uwarunkowania macierzy Hilberta stopnia N wynosi:
![{\displaystyle \operatorname {cond} (H_{N})=O\left({\frac {e^{3{,}5255N}}{\sqrt {N}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c2d97c9987f0b16327102970629b9f768b43f9)
Numerycznie rozwiązywanie nawet niewielkich układów równań z tą macierzą jest zatem praktycznie niemożliwe.