Hilbertmatris

Inom matematiken är en Hilbertmatris en matris där elementen består av bråktal med täljaren 1, uppkallad efter matematikern David Hilbert.

Definition

Ett element $h_{ij}$ i en Hilbertmatris har värdet:

$h_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.$

Exempel

Hilbertmatrisen H av format $4\times 4$:

$H={\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}$

Egenskaper

Hilbertmatriser är positivt definita och symmetriska. Matrisen är ett typexempel på en illa konditionerad matris, då dess konditionstal är av ordningen $O(e^{3.5255n}/{\sqrt {n}})$.