Liczby zaprzyjaźnione

Liczby zaprzyjaźnione – para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników właściwych (mniejszych od tej liczby) każdej z tych liczb równa się drugiej liczbie.

Para Pitagorasa

Pierwszą parą takich liczb jest 220 i 284, ponieważ:

• 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284),
• 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220).

Została ona podana już przez Pitagorasa. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości.

Pary mniejsze od miliona

Oto wszystkie pary liczb zaprzyjaźnionych, z których co najmniej jedna liczba jest mniejsza od miliona:

• 220 i 284
• 1184 i 1210
• 2620 i 2924
• 5020 i 5564
• 6232 i 6368
• 10744 i 10856
• 12285 i 14595
• 17296 i 18416
• 63020 i 76084
• 66928 i 66992
• 67095 i 71145
• 69615 i 87633
• 79750 i 88730
• 100485 i 124155
• 122265 i 139815
• 122368 i 123152
• 141664 i 153176
• 142310 i 168730
• 171856 i 176336
• 176272 i 180848
• 185368 i 203432
• 196724 i 202444
• 280540 i 365084
• 308620 i 389924
• 319550 i 430402
• 356408 i 399592
• 437456 i 455344
• 469028 i 486178
• 503056 i 514736
• 522405 i 525915
• 600392 i 669688
• 609928 i 686072
• 624184 i 691256
• 635624 i 712216
• 643336 i 652664
• 667964 i 783556
• 726104 i 796696
• 802725 i 863835
• 879712 i 901424
• 898216 i 980984
• 947835 i 1125765
• 998104 i 1043096

Wzór Tabita

Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita ibn Qurra (826–901) ok. roku 850.

Niech:

• $n>1$ będzie liczbą naturalną,
• $p=3\cdot 2^{n-1}-1,$
• $q=3\cdot 2^{n}-1,$
• $r=9\cdot 2^{2n-1}-1.$

Jeśli $p,$ $q$ i $r$ są liczbami pierwszymi, to

$2^{n}pq$ i $2^{n}r$

są liczbami zaprzyjaźnionymi.

Przy użyciu powyższej metody można odnaleźć pary (220, 284), (17296, 18416) oraz (9363584, 9437056), ale już nie np. (6232, 6368). Metoda ta sprawdza się dla $n$ = 2, 4 oraz 7, ale nie dla żadnego innego $n<=191600$.

Wzór Eulera

Euler uogólnił wzór Tabita, podając regułę, która umożliwia znajdowanie wszystkich liczb zaprzyjaźnionych w postaci par spełniających poniższy warunek:

Jeżeli liczby naturalne $k$ i $n,$ gdzie $k\leqslant n,$ są takie, że wszystkie trzy liczby

$p=(2^{k}+1)2^{n+1-k}-1,$

$q=(2^{k}+1)2^{n+1}-1,$

$r=(2^{k}+1)^{2}2^{2n+2-k}-1$

są pierwsze, to wtedy liczby $2^{n+1}pq$ i $2^{n+1}r$ tworzą parę liczb zaprzyjaźnionych.

Dla $k=1$ otrzymujemy wzór Tabita.

Poszukiwania liczb zaprzyjaźnionych

Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz. Tematem tym zajmował się również polski siedemnastowieczny matematyk Jan Brożek. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) „nieprzyjazne”. W 2001 roku znano milion liczb zaprzyjaźnionych, w 2007 roku prawie 12 mln. Obecnie znaleziono ponad miliard takich liczb.

Zobacz też

• liczby towarzyskie

Bibliografia

• Encyklopedia szkolna. Matematyka. Przewodniczący komitetu redakcyjnego Włodzimierz Waliszewski. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988. ISBN 83-02-02551-8.
• Encyklopedia matematyka. Redaktor prowadzący Agnieszka Nawrot Sabak. Kraków: Wydawnictwo „Greg”, 2010. ISBN 978-83-7517-015-3.
• Mariano García. A million new amicable pairs. „Journal of Integer Sequences”. 4, s. 1–3, 2001. Jeffrey O. Shallit. Basking Ridge NJ: AT & T Corp. ISSN 1530-7638. (ang.). 
• Mariano García, Jan Munch Pedersen, Herman J.J. te Riele. Amicable pairs, a survey. „Report PNA, Probability, Networks and Algorithms”, 2003-07-31. Amsterdam: Centrum voor Wiskunde en Informatica. ISSN 1386-3711. (ang.). 
• Roger Webster, Gareth Williams. Friends in High Places. „Mathematical Spectrum”. 42 (2), s. 54–58, 2010. Londyn: Applied Probability Trust. ISSN 0025-5653. (ang.). 

Linki zewnętrzne

• Liczby zaprzyjaźnione (math.edu.pl). [dostęp 2016-06-07].