Hipoteza Gilbreatha

Hipoteza Gilbreatha – problem teorii liczb, po raz pierwszy sformułowany przez François Protha w 1878 roku, podał on również jej dowód, jednak okazał się on błędny. Niezależnie od niego hipoteza została sformułowana w XX wieku przez Normana Gilbreatha i do tej pory pozostaje nieudowodniona.

Obserwacja

Rozważmy ciąg liczb pierwszych:

$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\dots$

Obliczając wartość bezwzględną różnic kolejnych elementów ciągu, otrzymujemy ciąg:

$1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\dots$

Powtarzając operację dla powyższego ciągu, dostajemy:

$1,0,2,2,2,2,2,2,4,\dots$

$1,2,0,0,0,0,0,2,\dots$

$1,2,0,0,0,0,2,\dots$

$1,2,0,0,0,2,\dots$

$1,2,0,0,2,\dots$

Jak widzimy, po kilku iteracjach za każdym razem otrzymujemy ciąg, którego pierwszym elementem jest 1. Naturalnym pytaniem jest, czy dzieje się tak dla dowolnie wielu iteracji.

Sformułowanie hipotezy

Niech $(p_{n})$ oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych. Możemy z nim stowarzyszyć ciąg $(d_{n}^{1}),$ gdzie $d_{n}^{1}=|p_{n+1}-p_{n}|.$ Mając ciąg $(d_{n}^{k}),$ określamy ciąg $(d_{n}^{k+1}),$ przyjmując $d_{n}^{k+1}=|d_{n+1}^{k}-d_{n}^{k}|.$ Hipoteza Gilbreatha stanowi, że $d_{1}^{k}=1$ dla każdej liczby naturalnej $k.$

Problem pozostaje nierozwiązany do dzisiaj, choć w 1993 roku Andrew Odlyzko sprawdził ją dla $k\leqslant 346\,065\,536\,839$.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Gilbreath's Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].