Szereg naprzemienny: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Aktualna wersja na dzień 10:38, 23 cze 2024

Szereg naprzemienny^[1]^[2], inaczej przemienny^[3]^[4], alternujący bądź znakozmienny^[5] – szereg liczbowy, którego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne^[6]. Szereg naprzemienny można przedstawić w postaci:

\pm \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},

gdzie $a_{n}>0$ dla każdego $n.$

Z definicji wynika, że iloczyn dowolnych dwóch sąsiednich wyrazów szeregu jest ujemny.

Kryterium Leibniza orzeka, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest nierosnący i zbieżny do 0 jest zbieżny.

Przykłady

Szereg Grandiego 1 − 1 + 1 − 1...
Szereg 1 − 2 + 4 − 8 +... kolejnych potęg liczby 2 z naprzemiennie zmieniającymi się znakami.

Przypisy

↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 261–263.
↑ Kuratowski 1967 ↓, s. 42.
↑ Leja 1971 ↓, s. 196.
↑ Leja 1998 ↓, s. 62.
↑ Alternujący szereg, Encyklopedia Gutenberga.
↑ szereg przemienny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-06-23] .

Bibliografia

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.

Literatura dodatkowa

W. Krysicki, K. Włodarski: „Analiza matematyczna w zadaniach”
Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998. ISBN 83-01-02846-7.
Konrad Knopp: „Infinite Sequences and Series”

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Alternating Series, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
http://www.answers.com/topic/alternating-series

[CITEREFFichtenholz1966261–263-1] Fichtenholz 1966 ↓, s. 261–263.

[CITEREFKuratowski196742-2] Kuratowski 1967 ↓, s. 42.

[CITEREFLeja1971196-3] Leja 1971 ↓, s. 196.

[CITEREFLeja199862-4] Leja 1998 ↓, s. 62.

[5] Alternujący szereg, Encyklopedia Gutenberga.

[6] szereg przemienny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-06-23] .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-'''Szereg naprzemienny'''{{odn|Fichtenholz|1966|s=261-263}}{{odn|Kuratowski|1967|s=42}} (także '''szereg przemienny'''{{odn|Leja|1971|s=196}}{{odn|Leja|1998|s=62}}, '''szereg alternujący''' bądź '''szereg znakozmienny'''<ref>[http://www.gutenberg.czyz.org/word,2105 ''Alternujący szereg''], Encyklopedia Gutenberga.</ref>) – [[Szereg (matematyka)|szereg liczbowy]], którego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. Szereg naprzemienny można przedstawić w postaci:
+'''Szereg naprzemienny'''{{odn|Fichtenholz|1966|s=261–263}}{{odn|Kuratowski|1967|s=42}}, inaczej '''przemienny'''{{odn|Leja|1971|s=196}}{{odn|Leja|1998|s=62}}, '''alternujący''' bądź '''znakozmienny'''<ref>[http://www.gutenberg.czyz.org/word,2105 ''Alternujący szereg''], Encyklopedia Gutenberga.</ref> – [[Szereg (matematyka)|szereg liczbowy]], którego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3982928 | tytuł=szereg przemienny | data dostępu = 2024-06-23 }}</ref>. Szereg naprzemienny można przedstawić w postaci:
+: <math>\pm \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\,a_n,</math>
-: <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n,</math>
+gdzie <math>a_n > 0</math> dla każdego <math>n.</math>
+Z definicji wynika, że iloczyn dowolnych dwóch sąsiednich wyrazów szeregu jest ujemny.
-gdzie <math> a_n > 0 </math> dla każdego <math> n </math> lub <math> a_n<0 </math> dla każdego <math>n</math>.
-[[Kryterium Leibniza]] orzeka, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> jest  nierosnący (analogicznie nierosnący) i zbieżny do 0 jest [[Kryteria zbieżności szeregów|zbieżny]].
+[[Kryterium Leibniza]] orzeka, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> jest nierosnący i zbieżny do 0 jest [[Kryteria zbieżności szeregów|zbieżny]].
-==Przykłady==
+== Przykłady ==
-* [[Szereg Grandiego]] 1 - 1 + 1 - 1...
+* [[Szereg Grandiego]] 1 − 1 + 1 − 1...
-* [[Szereg_1_−_2_%2B_4_−_8_%2B_…|Szereg 1 − 2 + 4 − 8 +]]... kolejnych potęg liczby 2 z naprzemiennie zmieniającymi się znakami.
+* [[Szereg 1 − 2 + 4 − 8 + …|Szereg 1 − 2 + 4 − 8 +]]... kolejnych potęg liczby 2 z naprzemiennie zmieniającymi się znakami.
 == Przypisy ==
@@ Linia 15: / Linia 16: @@
 == Bibliografia ==
-# {{cytuj książkę |imię=Grigorij Michajłowicz |nazwisko=Fichtenholz| autor link=Grigorij Fichtenholz| tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy| tom=2| miejsce=Warszawa| wydawca=PWN| rok=1966| odn=tak}}
+* {{cytuj książkę |nazwisko=Fichtenholz |imię=Grigorij Michajłowicz |autor link=Grigorij Fichtenholz |tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy |tom=2 |miejsce=Warszawa |wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |rok=1966 |odn=tak}}
-# {{cytuj książkę|imię=Franciszek|nazwisko=Leja|autor link=Franciszek Leja|tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy|miejsce=Warszawa|rok=1971|wydawca=PWN|wydanie=11}}
+* {{cytuj książkę |nazwisko=Leja |imię=Franciszek |autor link=Franciszek Leja |tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy |miejsce=Warszawa |rok=1971 |wydawca=PWN |wydanie=11}}
-# {{cytuj książkę | imię=Kazimierz|nazwisko=Kuratowski|autor link=Kazimierz Kuratowski | tytuł =Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej | wydawca =PWN | miejsce =Warszawa | rok = 1967| strony =|odn=tak}}
+* {{cytuj książkę |nazwisko=Kuratowski |imię=Kazimierz |autor link=Kazimierz Kuratowski |tytuł =Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej |wydawca =PWN |miejsce =Warszawa |rok = 1967 |strony = |odn=tak}}
-# W. Krysicki, K. Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach"
+== Literatura dodatkowa ==
-# {{cytuj książkę|imię=Walter|nazwisko=Rudin|autor link=Walter Rudin|tytuł=Podstawy analizy matematycznej|miejsce=Warszawa|wydawca=PWN|rok=1998|strony=|isbn=83-01-02846-7}}
+* W. Krysicki, K. Włodarski: „Analiza matematyczna w zadaniach”
-# Konrad Knopp: "Infinite Sequences and Series"
+* {{cytuj książkę |nazwisko=Rudin |imię=Walter |autor link=Walter Rudin |tytuł=Podstawy analizy matematycznej |miejsce=Warszawa |wydawca=PWN |rok=1998 |strony= |isbn=83-01-02846-7}}
+* Konrad Knopp: „Infinite Sequences and Series”
 == Linki zewnętrzne ==
+* {{MathWorld|adres=AlternatingSeries |tytuł=Alternating Series |data dostępu=12 grudnia 2020}}
-* http://mathworld.wolfram.com/AlternatingSeries.html
-* http://encyklopedia.pwn.pl/haslo.php?id=3982928
 * http://www.answers.com/topic/alternating-series
+{{Ciągi liczbowe}}
+{{Kontrola autorytatywna}}
 [[Kategoria:Szeregi]]