Fluks

Fluks av et vektorfelt F gjennom flaten dA.

Fluks (fra latin flux: flyt, strømning) er et mål for transport av en størrelse gjennom en tenkt eller virkelig flate. Begrepet brukes i fysikk og anvendt matematikk. Da benyttes ofte den greske bokstaven Φ for fluks som er en skalar størrelse.

I dagligtale kan man også høre at fluks blir benyttet til å angi hvor mange biler som passerer en bomstasjon i timen, hvor mange mennesker som hvert minutt går inn i en bygning og for andre, lignende situasjoner.

En strømning er karakterisert ved en viss størrelse og en bestemt retning i hvert punkt og beskrives derfor ved et vektorfelt. Kalles dette F, er fluksen gjennom en liten flate med areal dS

$d\Phi =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$

når man innfører flatevektoren d S = dS n hvor enhetsvektoren n står vinkelrett på flateelementet dS. Er dette en del av en større flate, kan fluksen gjennom hele flaten finnes ved integrasjon. Når vektorfeltet er konstant, blir fluksen gjennom en flate med areal S derfor Φ = F⋅S.

Det er naturlig å kalle vektoren F for fluksvektoren. Størrelsen til denne blir noen ganger upresist omtalt som en fluks.

Begrepet fluks opptrådde først i fluiddynamikk for å beskrive transport av en viss mengde væske eller dens bevegelsesmengde. Herfra følger bildet av væskepartikler som flyter langs strømlinjer. Antall slike strømlinjer som passerer en gitt flate, er da et uttrykk for fluksen til væskestrømningen.

Dette bildet fra fluidmekanikken ble benyttet av Michael Faraday og James Maxwell til å beskrive elektromagnetiske felt ved deres feltlinjer. Da disse tilsvarer strømlinjene til en væske, kunne fluksbegrepet på en naturlig måte innføres i elektromagnetismen og har der en sentral betydning.

Magnetisk fluks måles i weber (Wb), mens magnetisk flukstetthet måles i tesla (T).

Eksempel

Massestrømmen av en væske med tetthet ρ og hastighet v er gitt ved vektorfeltet J = ρ v. Er d S = dS n  et lite flateelement med retning n som danner vinkelen θ med J, er det bare komponenten J cosθ av denne som står vinkelrett på flateelementet, som vil strømme gjennom dette. Det tilsvarer fluksen d Φ = J cosθdS = J⋅d S  når man innfører skalarproduktet mellom to vektorer.

Slik kan fluks visualiseres. De røde pilene står for vektorfeltet som beskriver strømningen. Antallet piler som passerer gjennom en ring, er fluksen gjennom flaten som ringen omslutter.

Når dette flateelementet er en liten del av en større flate, er den totale fluksen gjennom flaten gitt ved integralet

$\Phi =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S}$

Størrelsen til fluksen sier i dette tilfellet hvor mye masse per tidsenhet som strømmer gjennom flaten. Det kommer også frem fra dens måleenhet i SI-systemet som blir

$[\Phi ]={{\text{kg}} \over {\text{m}}^{3}}\cdot {{\text{m}} \over {\text{s}}}\cdot {\text{m}}^{2}={{\text{kg}} \over {\text{s}}}$

Under stasjonære forhold vil like mye masse strømme inn gjennom lukket flate som ut av denne, noe som matematisk tilsvarer at

$\Phi =0=\oint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S}$

Man tenker seg da en fast flate som delvis består av en fysisk flate som holder væsken på plass pluss tenkte deler som væsken gjennomstrømmer som sies å være åpne. Den totale fluksen gjennom hele flaten er null og er et uttrykk for kontinuitetsligningen i hydrodynamikk. Hvis flaten inneholder to åpne deler S₁ og S₂ hvor strømmen har verdiene J₁ og J₂, har man derfor

$\rho _{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {S} _{1}+\rho _{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {S} _{2}=0$

I det enkleste tilfelle hvor de to delflatene står vinkelrett på hastighetsfeltet v og dette er konstant over flatene, forenkles denne massebevarelsen til betingelsen ρ₁v₁S₁ = ρ₂v₂S₂. Dette er det enkleste uttrykk for at fluksen inn i volumet er lik fluksen ut av det under stasjonære forhold. Vanligvis er tettheten ρ konstant, noe som betyr at strømningshastigheten er størst gjennom den flaten som er minst.

Elektrisk felt

Et elektrisk felt E skapes av elektriske ladninger. Det kan også beskrives ved forskyvningsfeltet D = ε E hvor ε er permittiviteten til materialet feltene befinner seg i. Begge disse vektorfeltene kan benyttes til å definere en elektrisk fluks. Benytter man D-feltet og betrakter en flate S i dette feltet, er denne definert ved integralet

$\Phi _{D}=\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S}$

Fluksen gjennom den grønne flaten er gitt ved størrelsen av fluksvektoren langs flatenormalene n som her er angitt ved piler.

I SI-systemet måles forskyvningsfeltet D i enheter av C/m², slik at den elektriske fluksen har samme måleenhet som elektrisk ladning, 1C = 1A⋅s. Dette kommer tydelig frem ved å betrakte en lukket flate. Gauss' lov sier da at fluksen gjennom en slik flate er den totale ladningen Q innenfor flaten. Det tilsvarer sammenhengen

$\Phi _{D}=\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} =Q$

Ved bruk av divergensteoremet kan dette skrives som

$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} =\int \!d^{3}x{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} =Q$

I denne sammenhengen omtales den lukkete flaten vanligvis som en Gauss-flate som i mange sammenhenger gjør det mulig å benytte den elektriske fluksen til å løse praktiske problem innen elektrostatikken.

Da totalladningen Q også kan skrives som et integral over det samme volumet innesluttet av S med ladningstetthet ρ må man ha den fundamentale sammenhengen

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} =\rho$

Dette er Gauss' lov på differensiell form og omtales også som Maxwells første ligning. Den er gyldig også når det elektriske feltet varierer med tiden, men den tilsvarende fluksen har ikke da samme anvendbarhet.

Magnetisk felt

Fluksen gjennom flaten er et mål for antall feltlinjer som går gjennom den.

Magnetisk fluks er gitt ved det magnetiske feltet B. For en flate S er den definert som

$\Phi _{B}=\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S}$

slik at B også ofte kalles for det magnetiske fluksfeltet. Mens dette feltet måles i enheter av Tesla (T), er enheten for den tilsvarende fluksen Weber (Wb) slik at 1 T = 1 Wb/m².

Uttrykkes dette ved vektorpotensialet som B = ∇ × A, kan man ved hjelp av Stokes' teorem alternativt skrive fluksen som

$\Phi _{B}=\oint _{C}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {s}$

hvor C = ∂S er randen til flaten S og ds er et differensielt linjeelement langs denne kurven.

I motsetning til den elektriske fluksen, er den magnetiske fluksen gjennom en lukket flate alltid null. Dette er innholdet av Maxwells andre ligning som derfor kan skrives som ∇⋅B = 0. Ligningen tilsvarer at det ikke finnes virkelige, magnetiske ladninger. Da feltlinjer alltid må starte og ende på tilsvarende ladninger, betyr det at disse for B-feltet alltid må være lukkete kurver.

Denne fluksen har en sentral plass i elektromagnetisk teori og likså for magnetfelt som varierer med tiden. Det er spesielt tydelig i Faradays induksjonslov hvor den tidsderiverte av fluksen gir den induserte, elektromotoriske spenningen,

${\mathcal {E}}=-{d\Phi _{B} \over dt}$

På differensiell form er dette Maxwells tredje ligning som danner grunnlaget for alle elektriske motorer og generatorer.

En lukket strømsløyfe som fører en konstant strøm I og befinner seg i et ytre magnetfelt, har en vekselvirkningsenergi som er gitt ved

$V=-I\Phi _{B}$

hvor Φ_B  er den magnetiske fluksen gjennom sløyfen. Hele energien til dette systemet vil også inkludere energien til feltet.

Hvis arealet S til sløyfen er så lite at feltet gjennom den kan anses som konstant, blir fluksen Φ_B = B⋅S. Men nå er m = I S det magnetiske momentet til sløyfen som dermed kan beskrives som en dipol med energien

$V=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B}$

i det ytre magnetfeltet. Likevektsstillingen inntrer der denne energien er minimal som tilsvarer at dipolen har samme retning som B-feltet og fluksen gjennom den er maksimal.

Magnetiske flukser kan ikke uten videre trenge inn i superledere. Kvantemekanikken sier da at denne fluksen kun kan opptre med diskrete verdier som alle er et multiplum av et mindre, fundamentalt flukskvantum. Dette fenomenet kalles flukskvantisering og er eksperimentelt påvist.

Andre flukser

Kanskje den mest kjente fluksen i fysikk er elektrisk strøm. Den er definert ved en fluksvektor som er strømtettheten J som har måleenhet A/m². Strømmen gjennom en flate S er da

$I=\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S}$

som måles i enheter av A = C/s. For enhver transportprosess med strømningsvektor F kan det defineres en tilsvarende fluks gjennom en gitt flate. Dette behøver ikke være materiell transport, men kan for eksempel også gjelde transport av energi. Det kan være varmeledning eller transport av elektromagnetisk strålingsenergi gitt ved Poyntings vektor E × H.

I kvantemekanikken opptrer også flukser i forbindelse med strøm av sannsynlighetsamplituder eller bølgefunksjoner. En slik kvantemekansik fluks er da et mål for synnsynligheten for at en partikkel skal passere den gitte flaten.