Pollards lambda-algoritme

Pollards lambda-algoritme, ook bekend onder de naam Pollards kangoeroe-algoritme, is een algoritme om de discrete logaritme te vinden. De Britse wiskundige John Pollard beschreef deze methode in hetzelfde artikel als waarin hij Pollards rho-algoritme voor logaritmen beschreef.

Pollards lambda-algoritme is bruikbaar om de discrete logaritme te bepalen, als men weet dat deze tot een beperkt aantal waarden $\{a,\ldots ,b\}$ behoort.

Door $a=0$ en $b=p-1$ te stellen is het mogelijk om het Pollard lambda-algoritme voor algemene $n$ te gebruiken, maar Pollards lambda-algoritme gaat veel sneller als $\{a,\ldots ,b\}$ een relatief klein aantal waarden bevat.

Het algoritme

Kies een verzameling S met gehele getallen en definier een functie f(x) die de groep G afbeeldt op deze verzameling S.
Kies vervolgens een geheel getal N en bereken een rij groepselementen $(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N})$ als: $x_{0}=g^{b}$ en $x_{i+1}=x_{i}\cdot g^{f(x_{i})}$ voor $i=0,1,\ldots ,N-1$ .
Berekenen daarna de som van alle afzonderlijke $f(x_{i})$ : $d=\sum _{i=0}^{N-1}f(x_{i})$
Er geldt nu dus:

x_{N}=x_{0}\cdot g^{f(x_{0})}\cdot g^{f(x_{1})}\cdot \ldots \cdot g^{f(x_{N-1})}=x_{0}\cdot g^{d}=g^{b}\cdot g^{d}=g^{b+d}

Berekenen nu een tweede reeks groepselementen $(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{N})$ als: $y_{0}=h,y_{i+1}=y_{i}\cdot g^{f(y_{i})}$ voor $i=0,1,\ldots ,N-1$
Bereken tegelijkertijd de rij $(d_{0},d_{1},\ldots$ waarbij $d_{k}=\sum _{i=0}^{k-1}f(y_{i})$
Dan geldt: $y_{i}=y_{0}\cdot g^{f(y_{0})}\cdot g^{f(y_{1})}\cdot \ldots \cdot g^{f(y_{i})}=h\cdot g^{d_{i}}$ voor $i=0,1,\ldots ,N-1$
Ga door met het berekenen van nieuwe termen $y_{i}$ en $d_{i}$ totdat een van de volgende twee situaties optreedt:

i)

y_{j}=x_{N}

voor bepaalde

j

.

Dan geldt:

x_{N}=y_{j}\Leftrightarrow g^{b+d}=h\cdot g^{d_{j}}\Leftrightarrow h=g^{b+d-d_{j}}

waaruit de gezochte

n\equiv b+d-d_{j}{\pmod {p}}

gevonden kan worden.

ii)

d_{i}=b-a+d

Wanneer dit gebeurt, kan

n

zo niet worden bepaald.

We kunnen de verzameling S en/of de functie f(x) veranderen en opnieuw de verschillende stappen van het algoritme doorlopen.

Zie ook

Referenties

J. M. Pollard, Monte Carlo methods for index computation mod p. Mathematics of Computation, Volume 32, Issue 143 (jul.1978), 918-924.
M. Pollard, Kangaroos, Monopoly and Discrete Logarithms. Journal of Cryptology, Volume 13, pp 437–447, 2000