Oleg Bozjev werd in 1984 in zijn eerste internationale schaatsjaar wereldkampioen allround. In de drie jaar daarna probeerde hij deze prestatie te evenaren, maar Hein Vergeer (tweemaal) en landgenoot Nikolaj Goeljajev waren beter. In 1986 was hij nog het dichtste bij een tweede allroundtitel, maar een mindere 5000 meter nekte hem en op slechts 0,041 punt van Vergeer miste hij het goud.
Later was Bozjev actief in Nederland als marathonschaatser. In 1991 won hij zelfs de KNSB cup. Na het uiteenvallen van de Sovjet-Unie maakte hij een kortstondige comeback als allrounder tijdens het EK Allround van 1992 in Heerenveen. Dit op verzoek van de Russische schaatsbond die voor Bozjev immers geen reiskosten hoefde te betalen.