Logaritmische spiraal

De logaritmische spiraal is een vlakke kromme waarvan de toename van de lengte van de voerstraal – dat is het verbindingslijnstuk van de oorsprong van het assenstelsel met een willekeurig punt op de kromme – evenredig is met de lengte van de voerstraal zelf, met als gevolg dat lengte van de voerstraal een exponentiële functie van de hoek is tussen de voerstraal en de x-as.

Deze spiraal komt veelvuldig voor in de natuur, meer bepaald in de biologie. In biologische termen vertaalt zich een en ander als een toename die evenredig is met de reeds bereikte grootte van het organisme.

De wiskundige Jakob Bernoulli gaf deze kromme de Latijnse naam spira mirabilis.

Vergelijkingen

Indien de toename van de voerstraal $\mathrm {d} r(\theta )$ evenredig is met de voerstraal zelf geldt voor een kleine toename van de hoek $\mathrm {d} \theta$:

$\mathrm {d} r(\theta )=b\cdot r(\theta )\mathrm {d} \theta$

waarin $b$ de evenredigheidsconstante is. Door dit verband als een differentiaalvergelijking te beschouwen en op te lossen vindt men als algemene oplossing:

$r(\theta )=ae^{b\cdot \theta }$

Dit is de vergelijking van de logaritmische spiraal in poolcoördinaten. Hierbij is $a$ een positief getal, en $b$ een getal verschillend van 0. Het domein van deze functie is $(-\infty ,+\infty )$. Deze vergelijking is equivalent met:

$\theta ={\frac {\ln(r/a)}{b}}$

De vergelijking in parametervorm is:

$x(t)=ae^{b\cdot t}\cos(t)$

$y(t)=ae^{b\cdot t}\sin(t)$

De hoek $\theta$ uit de vergelijking in poolcoördinaten wordt hier als parameter gebruikt. Ongeacht of men de vergelijking in polaire vorm dan wel de vergelijkingen in parametervorm beschouwt, geldt: indien $b>0$ neemt de voerstraal van de spiraal toe in tegenwijzerzin; voor $b=0$ heeft men niet een spiraal, maar een cirkel met straal $a;$ en voor $b<0$ neemt de voerstraal van de spiraal toe in wijzerzin.

Eigenschappen

Een logaritmische spiraal. De hoek tussen de raaklijn en de loodrechte op de voerstraal is in elk punt dezelfde.

Hoek

De hoek $\alpha$ tussen de raaklijn en de loodrechte op de voerstraal is constant:

$\tan \alpha =b$

Wegens deze eigenschap wordt de logaritmische spiraal ook de equiangulaire spiraal genoemd.

Booglengte

De infinitesimale booglengte ds is:

${\rm {d}}s={\sqrt {{\rm {d}}x^{2}+{\rm {d}}y^{2}}}=a{\sqrt {1+b^{2}}}\,e^{b\theta }\,{\rm {d}}\theta$

De booglengte zelf vanaf de oorsprong tot aan het punt dat hoort bij de hoek $\theta _{0},$ is dan:

$s(\theta _{0})=\int _{-\infty }^{\theta _{0}}ds={\frac {a}{b}}{\sqrt {1+b^{2}}}\,e^{b\theta _{0}}$

Wanneer men integreert vanaf $-\infty$, wentelt de spiraal een oneindig aantal keren rond de oorsprong vooraleer de parameter $\theta$ de positief wordt. Nochtans is de totale booglengte van al deze wentelingen eindig.

Rectificering

De raaklijn $T$ aan de spiraal in een punt waarin de spiraal de x-as snijdt, snijdt ook de y-as. Het lijnstuk tussen de twee snijpunten is een rectificering van de kromme, wat inhoudt dat de afstand tussen de beide snijpunten gelijk is aan de totale booglengte van de kromme tot aan het bedoelde snijpunt met de x-as.

Zelfgelijkvormigheid

Wanneer de figuur van de logaritmische spiraal over een willekeurige hoek geroteerd wordt, is het steeds mogelijk door een schaalvergroting de figuur weer te laten samenvallen met de oorspronkelijke spiraal. Dit is wiskundig op eenvoudige wijze aan te tonen. De geroteerde spiraal over een hoek $\alpha$ is:

$r_{\alpha }(\theta )=ae^{b\cdot (\theta -\alpha )}$

dit is gelijk aan:

$r_{\alpha }(\theta )=e^{-b\cdot \alpha }\,ae^{b\cdot \theta }=e^{-b\cdot \alpha }\,r(\theta )$

Dit is een veelvoud, een herschaling, van de oorspronkelijke logaritmische spiraal. Deze eigenschap werd op de grafsteen van Jakob Bernoulli vereeuwigd met de woorden eadem mutata resurgo (veranderd en nog dezelfde, zal ik opnieuw opstaan).

Evolute

De evolute van de logaritmische spiraal is opnieuw een logaritmische spiraal met dezelfde parameter $b$, maar met een factor a gelijk aan gelijk aan $a\cdot b\cdot e^{-b\pi /2}$.

$r_{\mathrm {evolute} }(\theta )=a\,(be^{-b\pi /2})\,e^{b(\theta +\pi /2)}$

Wanneer een logaritmische spiraal met $b>0$ samen met haar evolute wordt getekend, beiden voor een gelijk interval van de parameter $t$, is de spiraal van de evolute qua voerstraal kleiner dan de oorspronkelijke spiraal. De evolute is ook 90° gedraaid in tegenwijzerzin tegenover de ligging van de oorspronkelijke spiraal.

Voorkomen in de natuur

De kamers in een Nautilusschelp vormen een logaritmische spiraal.

• Zoals reeds vermeld is aangroei van de voerstraal bij de logaritmische spiraal evenredig met de exponent van de voerstraal. Dit principe, een aangroei die evenredig is met de reeds aanwezige afmeting, vindt men terug in biologische systemen, zoals schelpen van weekdieren.

• Een havik nadert zijn prooi via een logaritmische spiraal. Dit is een gevolg van het feit dat hij het scherpst ziet onder een bepaald hoek tegenover zijn vliegrichting.

• Drie muizen (of andere dieren) die elkaar achtervolgen vanuit de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek volgen een logaritmische spiraal; dit is het muizenprobleem.

• De vorm van spiraalarmen van spiraalstelsels beantwoordt aan een logaritmische spiraal. De raaklijn aan de spiraal maakt een hoek van circa 12° met de rechte loodrecht op de voerstraal.