Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Hadmardo vartai (angl. Hadamard gate ) – tai kvantiniai vartai naudojami kvantiniame kompiuteryje , kilę iš Hadamardo transformacijos, skirti, kubitą pervesti į superpozicijos būseną. Hadamardo kvantiniai vartai neturių klasikinių vartų analogų. Hadamardo vartai gali operuoti tik ant vieno kubito, be to kiekvienam kubitui reikia savo atskirų Hadamardo vartų.
Kubitas, kurio būsena yra |1>, pereidamas per Hadamardo vartus persikelia į būseną:
H
|
1
⟩
=
1
2
|
0
⟩
−
1
2
|
1
⟩
=
|
−
⟩
{\displaystyle H|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle =|-\rangle }
O |0> pereidamas per Hadamardo vartus pereina į superpozicijos būseną, kuri užrašoma šitaip:
H
|
0
⟩
=
1
2
|
0
⟩
+
1
2
|
1
⟩
=
|
+
⟩
{\displaystyle H|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle =|+\rangle }
Šiose būsenose kubitai pereidami dar kartą per Hadamardo vartus grįžta į pradinę būseną:
H
(
1
2
|
0
⟩
−
1
2
|
1
⟩
)
=
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
−
1
2
(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
=
|
1
⟩
{\displaystyle H({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )-{\frac {1}{2}}(|0\rangle -|1\rangle )=|1\rangle }
H
(
1
2
|
0
⟩
+
1
2
|
1
⟩
)
=
1
2
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
+
1
2
(
1
2
|
0
⟩
−
1
2
|
1
⟩
)
=
|
0
⟩
{\displaystyle H({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )+{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle )=|0\rangle }
Rezultatas po 2 kubitų perėjimo per Hadamardo vartus Kartais vietoje 0 rašomas 1, o vietoje 1 rašomas -1:
|
0
⟩
=
|
1
⟩
{\displaystyle |0\rangle =|1\rangle }
|
1
⟩
=
|
−
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle =|-1\rangle }
Mes taip ir žymėsime. Pirmas (pvz.: 1) nuo viršaus kubitas rašomas pirmu, o antras (pvz:. -1) nuo viršaus antru:
|
1
⟩
|
−
1
⟩
=
|
1
,
−
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle |-1\rangle =|1,-1\rangle }
Kai 2 kubitai yra perėję Hadamardo vartus, tai jie turės 4 reikšmes:
1
2
(
|
1
⟩
+
|
−
1
⟩
)
1
2
(
|
1
⟩
−
|
−
1
⟩
)
=
1
2
(
|
1
,
1
⟩
+
|
−
1
,
1
⟩
−
|
1
,
−
1
⟩
−
|
−
1
,
−
1
⟩
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle +|-1\rangle ){\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle -|-1\rangle )={\frac {1}{2}}(|1,1\rangle +|-1,1\rangle -|1,-1\rangle -|-1,-1\rangle )}
Jei iš paskos šiuos 2 kubitus seka dar vienas kubitas H|-1>, tai bendras kubitų užrašymas atrodys taip:
1
2
(
|
1
,
−
1
⟩
+
|
−
1
,
1
⟩
−
|
1
,
−
1
⟩
−
|
−
1
,
−
1
⟩
)
1
2
(
|
1
⟩
−
|
−
1
⟩
)
=
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(|1,-1\rangle +|-1,1\rangle -|1,-1\rangle -|-1,-1\rangle ){\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle -|-1\rangle )=}
=
1
2
3
(
|
1
,
−
1
,
1
⟩
+
|
−
1
,
1
,
1
⟩
−
|
1
,
−
1
,
1
⟩
−
|
−
1
,
−
1
,
1
⟩
−
|
1
,
−
1
,
−
1
⟩
−
|
−
1
,
1
,
−
1
⟩
+
|
1
,
−
1
,
−
1
⟩
+
{\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2^{3}}}}(|1,-1,1\rangle +|-1,1,1\rangle -|1,-1,1\rangle -|-1,-1,1\rangle -|1,-1,-1\rangle -|-1,1,-1\rangle +|1,-1,-1\rangle +}
+
|
−
1
,
−
1
,
−
1
⟩
)
{\displaystyle +|-1,-1,-1\rangle )}
⟨
ϕ
|
(
c
1
|
ψ
1
⟩
+
c
2
|
ψ
2
⟩
)
=
c
1
⟨
ϕ
|
ψ
1
⟩
+
c
2
⟨
ϕ
|
ψ
2
⟩
.
{\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle .}
(
|
ψ
⟩
⟨
ϕ
|
)
|
v
⟩
=
|
ψ
⟩
⟨
ϕ
|
v
⟩
.
{\displaystyle (|\psi \rangle \langle \phi |)|v\rangle =|\psi \rangle \langle \phi |v\rangle .}
H
|
ψ
⟩
=
1
2
(
X
|
ψ
⟩
+
Z
|
ψ
⟩
)
{\displaystyle H|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X|\psi \rangle +Z|\psi \rangle )}
|
ψ
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
{\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )}
H
|
ψ
⟩
=
H
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
=
|
0
⟩
{\displaystyle H|\psi \rangle =H{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )=|0\rangle }
H
|
ψ
⟩
=
1
2
(
X
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
+
Z
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
)
=
{\displaystyle H|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )+Z{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ))=}
=
1
2
(
(
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
+
1
2
(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
)
=
|
0
⟩
{\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(({\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )+{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle ))=|0\rangle }
Kur X yra kvantiniai NOT vartai , o Z yra fazės vartai .
|
ψ
⟩
=
a
|
00
⟩
+
b
|
10
⟩
+
c
|
01
⟩
+
d
|
11
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =a|00\rangle +b|10\rangle +c|01\rangle +d|11\rangle }
tai
⟨
ψ
|
ψ
⟩
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
=
1
{\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}
Pavyzdžiui,
|
ψ
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
1
2
(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
=
1
2
(
|
00
⟩
+
|
10
⟩
−
|
01
⟩
−
|
11
⟩
)
{\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ){\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|00\rangle +|10\rangle -|01\rangle -|11\rangle )}
Tada,
⟨
ψ
|
ψ
⟩
=
4
⋅
(
1
2
)
2
=
1.
{\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =4\cdot ({\frac {1}{2}})^{2}=1.}
⟨
ψ
|
x
⟩
=
1
2
n
,
{\displaystyle \langle \psi |x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}},}
kur n, kubitų skaičius. Pavyzdžiui, jei n=4, tai:
⟨
ψ
|
x
⟩
=
1
2
4
=
1
16
=
1
4
{\displaystyle \langle \psi |x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{4}}}}={\frac {1}{\sqrt {16}}}={\frac {1}{4}}}
O jei n=2, tai:
⟨
ψ
|
x
⟩
=
1
2
2
=
1
4
=
1
2
{\displaystyle \langle \psi |x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {4}}}={\frac {1}{2}}}
⟨
x
|
x
⟩
=
1
{\displaystyle \langle x|x\rangle =1}
⟨
x
|
y
⟩
=
⟨
y
|
x
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y|x\rangle =0}
Hadamardo vartai naudojami:
